Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \) với \( x > 1 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi biểu thức**:
Ta có thể viết lại hàm số một cách khác để dễ dàng tính toán. Đặt \( \sqrt{x} = t \), với \( t > 1 \) (do \( x > 1 \)). Khi đó, \( x = t^2 \) và hàm trở thành:
\[
f(t) = \frac{t^2 + t + 1}{t - 1}
\]

2. **Rút gọn hàm số**:
Ta sẽ rút gọn biểu thức:
\[
f(t) = \frac{t^2 + t + 1}{t - 1} = \frac{(t^2 - 1) + (t + 2)}{t - 1} = \frac{(t - 1)(t + 1) + (t + 2)}{t - 1}
\]
Nếu \( t \neq 1 \), ta có thể rút gọn:
\[
f(t) = t + 1 + \frac{3}{t - 1}
\]

3. **Tìm cực trị**:
Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta tính đạo hàm của hàm \( f(t) \):
\[
f'(t) = 1 - \frac{3}{(t - 1)^2}
\]
Đặt \( f'(t) = 0 \):
\[
1 - \frac{3}{(t - 1)^2} = 0 \implies \frac{3}{(t - 1)^2} = 1 \implies (t - 1)^2 = 3 \implies t - 1 = \sqrt{3} \text{ hoặc } t - 1 = -\sqrt{3}
\]
Do \( t > 1 \), ta chọn \( t - 1 = \sqrt{3} \):
\[
t = 1 + \sqrt{3}
\]

4. **Chuyển về x**:
Từ \( t \), ta tính được \( x \):
\[
x = t^2 = (1 + \sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}
\]

5. **Tính giá trị hàm tại cực trị**:
Thay \( t = 1 + \sqrt{3} \) vào hàm \( f(t) \):
\[
f(1 + \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{3}) + 1 + \frac{3}{\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2 + 2\sqrt{3}
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( f(x) \) trên miền \( x > 1 \) là:
\[
\boxed{2 + 2\sqrt{3}}
\]