Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tính góc MON

1. **Hệ tọa độ**:
- Giả sử nửa đường tròn có bán kính \( R \) với tâm O tại gốc tọa độ (0, 0) và đường kính AB nằm trên trục Ox.
- A = (-R, 0), B = (R, 0).
- Tia Ax đi lên từ điểm A và tia By đi lên từ điểm B, tạo thành một góc vuông với AB.

2. **Điểm M**:
- Gọi tọa độ của M là (m, h), với h > 0 (vì M thuộc tia Ax).

3. **Tiếp tuyến tại M**:
- Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M sẽ có phương trình liên quan đến độ dốc của đường nối O và M. Độ dốc của OM là \(\frac{h}{m}\).
- Độ dốc của tiếp tuyến tại M là ngược dấu và có trị tuyệt đối bằng \(\frac{R^2}{\text{OA}^2}\).

4. **Góc MON**:
- Thực hiện theo định nghĩa góc, góc MON sẽ phụ thuộc vào vị trí của M và phương trình của tiếp tuyến qua M.

Tuy nhiên, để tính chính xác góc này, cần biết rõ các tọa độ và việc xác định góc giữa các tia.

### b) CM : MN = AM + BN

1. **Đoạn MN**:
- MN là chiều dài từ M đến N, nơi tiếp tuyến cắt By. Đoạn này có thể được tính bằng cách sử dụng hệ tọa độ và định lý Pythagore.

2. **Đoạn AM và BN**:
- Đoạn AM là khoảng cách từ A đến M, và BN là khoảng cách từ B đến N. Từ tính chất hình học, ta có thể chứng minh rằng:

\[
CM : MN = AM + BN
\]

### c) CM : AM.BN = R²

Sử dụng tỉ lệ và kết quả từ phần b), có thể thiết lập được tỉ số giữa các đoạn, có áp dụng định lý tương ứng để đưa ra công thức về R².

### Kết luận

Việc hoàn thành bài toán này yêu cầu trình bày chi tiết các hệ thức hình học, độ dài đoạn thẳng, và sử dụng các định lý hình học. Bài toán yêu cầu vận dụng kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến, và tính chất của hình học phẳng để có thể hoàn thiện các phần a, b, và c. Một cách chi tiết hơn có thể đi vào từng bước vẽ hình, thiết lập công thức và chứng minh tỉ số.