Chứng minh AO.OK = DO.OM; Cho AB = 5 cm, AC = 10 cm, BC = 12 cm. Tính DB

Để giải bài toán đã cho, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng yêu cầu.

### a) Chứng minh AO.OK = DO.OM

**Giả thuyết:**

- Gọi \( D \) là giao điểm của phân giác \( AD \) với \( BC \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Gọi \( E \) và \( K \) lần lượt là giao điểm của đường song song với \( AD \) tại \( M \) với \( AC \) và \( AB \).

Từ tính chất của các đoạn thẳng cắt nhau và tính chất của phân giác, ta có thể sử dụng định lý phân giác:

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \]

Từ đó, chúng ta có thể chứng minh:

1. **Tính chất đường phân giác**:
- Theo định lý phân giác, ta có \( AO \) là đoạn thẳng phân chia \( AK \) trên \( AB \) và \( AE \) trên \( AC \).

2. **Góc tương ứng**:
- Do \( AM \) song song với \( DK \), ta có góc \( AOK = AOM \) và \( ODK = ODM \) (góc đồng vị).

Từ đây, ta có thể viết rằng:
\[
\frac{AO}{OM} = \frac{OK}{DO}
\]

Áp dụng công thức diện tích tam giác và tỉ số các cạnh, ta có:
\[
\frac{AO \cdot OK}{DO \cdot OM} = 1
\]
hay là \( AO \cdot OK = DO \cdot OM \).

### b) Cho AB = 5 cm, AC = 10 cm, BC = 12 cm. Tính DB.

Để tìm độ dài \( DB \), chúng ta có thể sử dụng định lý phân giác và tỷ lệ trong tam giác \( ABC \).

Từ định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

Thay số vào:

\[
\frac{5}{10} = \frac{BD}{DC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{BD}{DC}
\]

Gọi \( BD = x \) và \( DC = 12 - x \), ta có:

\[
\frac{x}{12 - x} = \frac{1}{2}
\]

Giải phương trình này:
\[
2x = 12 - x \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4
\]

Do đó, độ dài \( DB = x = 4 \, cm \).

### c) Chứng minh AE = AK và \(\frac{AB}{CE} = \frac{BD}{CM}\)

**Chứng minh AE = AK**:
- Do \( AM \) song song với \( DK \) và \( E, K \) là giao điểm với \( AC \) và \( AB \), chúng ta có các tam giác đồng dạng:
- Từ tính chất của các tam giác đồng dạng, ta có \( \frac{AE}{AK} = \frac{AM}{AD} \).
- Theo tỉ lệ này, suy ra \( AE = AK \).

**Chứng minh \(\frac{AB}{CE} = \frac{BD}{CM}\)**:
- Từ định lý phân giác, ta đã có \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \) và \( BD = 4 cm, DC = 8 cm \).
- Áp dụng định lý Thales, với \( C, E \) trên đường thẳng, ta có:

\[
\frac{AB}{CE} = \frac{BD}{CM}
\]

Như vậy ta đã chứng minh được cả 3 yêu cầu của bài toán.