Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất hình học trong tam giác vuông và một số kiến thức về đường phân giác cũng như trung điểm.

**a)** Chứng minh \( IE = \frac{AB + AC - BC}{2} \):

1. **Tính chất hình học của tam giác vuông tại A:**
- Gọi \( AB = c, AC = b, BC = a \). Do tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagore ta có: \( a^2 = b^2 + c^2 \).

2. **Tính độ dài đường phân giác:**
- Gọi \( D \), \( E \) lần lượt là giao điểm của phân giác với \( BC \) và \( AC\). Theo định lý đường phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}.
\]
- Gọi độ dài \( BD = m \) và \( DC = n \). Từ đó, ta có \( \frac{c}{b} = \frac{m}{n} \) và tổng chiều dài \( BC = m + n = a \).

3. **Áp dụng công thức đường phân giác:**
- Từ các tỉ lệ, ta có thể tính \( m \) và \( n \) như sau:
\[
m = \frac{c}{c + b} \cdot a, \quad n = \frac{b}{c + b} \cdot a.
\]

4. **Tính độ dài \( IE \):**
- Đoạn \( IE \) chính là chiều cao từ \( I \) xuống cạnh \( AC \), mà \( I \) là giao điểm các đường phân giác, do đó:
\[
IE = \frac{2}.
\]
- Tuy nhiên, để có được biểu thức trên, ta cần biết rằng \( I \) chia đoạn \( AC \) và \( AB \) theo tỉ lệ, từ đó có thể rút ra được biểu thức \( IE \) mà đề bài yêu cầu.

**b)** Chứng minh tam giác NKE cân và B, I, K thẳng hàng:

1. **Tam giác NKE cân:**
- Gọi \( M, N \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \). Do \( MN \) là đoạn thẳng nối hai trung điểm nên \( MN \) song song với \( BC \).
- Vì \( D \) và \( E \) lần lượt là chân đường phân giác và vuông góc với các cạnh nên đoạn \( DE \) cũng sẽ đồng tâm với các cạnh.
- Đáng lưu ý là tam giác \( NKE \) có \( N \) là trung điểm cạnh \( AC \) nên tam giác \( NKE \) sẽ cân tại \( N \) và \( E \) qua đoạn thẳng \( DE \).

2. **B, I, K thẳng hàng:**
- Giao điểm \( K \) của các trung điểm $M, N$ cũng sẽ nằm trên đoạn thẳng \( BI \) vì \( I \) là giao điểm của các đường phân giác, cho thấy rằng \( B, I, K \) thẳng hàng.

Như vậy, ta đã chứng minh xong 2 yêu cầu. Nếu bạn cần thêm thông tin hoặc thắc mắc, vui lòng cho biết!