Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA, đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E, kẻ EI vuông góc AH

Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh HDEI là hình chữ nhật

1. **Ký hiệu các điểm**:
- D là điểm trên tia HC sao cho HD = HA.
- E là giao điểm của đường vuông góc với BC tại D và cạnh AC.
- I là điểm trên HA sao cho EI vuông góc với AH.

2. **Chứng minh các cạnh**:
- Do AH là đường cao, AE vuông góc với AC tại A.
- D là giao điểm của đường vuông góc với BC tại D, nên DE vuông góc với BC.
- EI vuông góc với AH theo định nghĩa.

3. **Đặc điểm hình chữ nhật**:
- Trong tứ giác HDEI có EH = DI (vì cả hai đều vuông góc với BC) và DE = HI (EH và DI là hai cạnh non-parallel tuy nhiên lại tạo thành 90 độ với AH).
- Như vậy, HDEI thỏa mãn các tính chất của một hình chữ nhật: hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.


### b) Chứng minh AE = AB và GB · AC = GC · AE

1. **Giả thiết đầu vào**:
- Tia AM cắt BC tại G.
- Gọi M là điểm trên cạnh AB.

2. **Chứng minh AE = AB**:
- Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH tạo thành hai tam giác vuông: ABE và AHC.
- Do AH là đường cao, nên \(\frac{AB}{AH} = \frac{AE}{AC}\) thì AE = AB.

3. **Chứng minh GB·AC = GC·AE**:
- Theo định lý đường cao: AH^2 = AB · AC.
- Sử dụng tính chất tỷ lệ đoạn thẳng trong tam giác vuông:
- Từ H đưa ra tỉ lệ \(\frac{GB}{GC} = \frac{AB}{AE}\),
- Như vậy, ta có thể phát biểu lại: GB · AC = GC · AE.

### Hình vẽ

Mời bạn vẽ lại theo các điểm đã chỉ định:
- Vẽ tam giác vuông ABC với A tại góc vuông.
- Kẻ đường cao AH.
- Từ điểm H, kẻ đoạn HD sao cho HD = HA.
- Từ điểm D, kẻ đường vuông góc với BC cắt AC tại điểm E.
- Kẻ EI vuông góc với AH.

Hãy nhìn vào mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong hình vẽ của bạn để thấy rõ tính chất của hình chữ nhật HDEI và các tỉ lệ đã chỉ định.