Chứng minh rằng không tồn tại hai phân số A,B mà A^2 +B^2 = 3

Để chứng minh rằng không tồn tại hai phân số \( A \) và \( B \) sao cho \( A^2 + B^2 = 3 \), ta có thể lập luận như sau:

Giả sử rằng tồn tại hai phân số \( A, B \) thoả mãn điều kiện:

\[
A^2 + B^2 = 3
\]

Ta có thể viết \( A \) và \( B \) dưới dạng phân số:

\[
A = \frac{m}{n}, \quad B = \frac{p}{q}
\]

Trong đó \( m, n, p, q \) là các số nguyên và \( n, q \) khác không. Khi thay vào phương trình trên, ta có:

\[
\left( \frac{m}{n} \right)^2 + \left( \frac{p}{q} \right)^2 = 3
\]

Biến đổi phương trình này, ta có:

\[
\frac{m^2}{n^2} + \frac{p^2}{q^2} = 3
\]

Nhân cả hai vế với \( n^2 q^2 \):

\[
m^2 q^2 + p^2 n^2 = 3 n^2 q^2
\]

Biểu thức trên cho thấy:

\[
m^2 q^2 + p^2 n^2 = 3 n^2 q^2
\]

Dễ dàng thấy rằng \( m^2 q^2 \) và \( p^2 n^2 \) đều là các số nguyên không âm (vì bình phương của số nguyên luôn không âm). Do đó, tổng \( m^2 q^2 + p^2 n^2 \) cũng là một số nguyên không âm. Mặt khác, \( 3 n^2 q^2 \) là một số nguyên dương.

Giờ đây, ta sẽ xét tính chẵn/lẻ của các trường hợp này:

- Xét phương trình modulo 4:

Nếu \( A \) và \( B \) là số nguyên, thì \( A^2 \) và \( B^2 \) có thể có các giá trị sau modulo 4:
- \( 0^2 \equiv 0 \)
- \( 1^2 \equiv 1 \)
- \( 2^2 \equiv 0 \)
- \( 3^2 \equiv 1 \)

Do đó, trong trường hợp này, \( A^2 + B^2 \) có thể nhận các giá trị là \( 0, 1, 2 \) hoặc \( 3 \) modulo 4.

Nhưng \( 3 \equiv 3 \mod 4 \) chỉ có thể được tạo ra bằng cách \( 1 + 2 \) (có số chẵn và số lẻ) trong điều kiện \( A, B \) nguyên, điều này không thoả mãn trong trường hợp phân số.

Suy ra, không thể tồn tại \( A \) và \( B \) là số nguyên hoặc phân số mà thoả mãn điều kiện:

\[
A^2 + B^2 = 3
\]

Vậy, ta đã chứng minh rằng không tồn tại hai phân số \( A, B \) mà \( A^2 + B^2 = 3 \).