Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng yêu cầu một.

1. **Tìm các số nguyên x để P có giá trị nguyên**:

Ta có biểu thức \( P = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} + 1} \).
Để P là số nguyên, điều kiện là \( \sqrt{x} + 1 \) phải chia hết cho \( \sqrt{x} + 6 \).

Giả sử \( \sqrt{x} = k \), với k là một số nguyên dương, thì ta có:
\[
P = \frac{k + 6}{k + 1}
\]

Để \( P \) là số nguyên, điều kiện cần là \( k + 1 \) phải chia hết cho \( 5 \) (vì \( k + 6 - (k + 1) = 5 \)).

Ta có thể viết:
\[
k + 1 = 5n \quad (n \in \mathbb{Z})
\]
=> \( k = 5n - 1 \).

Chúng ta thay lại vào \( x \):
\[
x = k^2 = (5n - 1)^2.
\]

Vậy các số nguyên \( x \) để P có giá trị nguyên là \( x = (5n - 1)^2 \) với n là số nguyên bất kỳ.

2. **Chứng minh rằng với \( x = \frac{4}{9} \), thì P là số nguyên**:

Thay \( x = \frac{4}{9} \) vào biểu thức:
\[
P = \frac{\sqrt{\frac{4}{9}} + 6}{\sqrt{\frac{4}{9}} + 1} = \frac{\frac{2}{3} + 6}{\frac{2}{3} + 1}.
\]

Tính toán từng phần:
\[
\frac{2}{3} + 6 = \frac{2}{3} + \frac{18}{3} = \frac{20}{3},
\]
\[
\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}.
\]

Vậy:
\[
P = \frac{\frac{20}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{20}{5} = 4,
\]
mà \( 4 \) là số nguyên.

3. **Tìm các số hữu tỉ x để P có giá trị nguyên**:

Gọi \( x = \frac{m}{n} \) với \( m, n \) là các số nguyên và \( n > 0 \). Thay vào P:
\[
P = \frac{\sqrt{\frac{m}{n}} + 6}{\sqrt{\frac{m}{n}} + 1} = \frac{\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} + 6}{\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} + 1}.
\]

Để \( P \) là số nguyên, ta giống như ở trên cần \( \sqrt{m} + n \) phải chia hết cho \( \sqrt{m} + 6n \).

Cách tìm các giá trị hợp lệ sẽ tương tự với điều kiện từ bài 1, nhưng cần chú ý đến đảm bảo \( \sqrt{m} \) là vô tỉ xấp xỉ một số hữu tỉ.

Tóm lại, ta cần khám phá thêm các giá trị hữu tỉ \( x \) dưới dạng phân số mà cho ra P là nguyên, nhưng có thể giải quyết vấn đề thực tế bằng cách thử nghiệm một số giá trị khác nhau.