Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta hãy cùng phân tích từng yêu cầu một.

### a. Chứng minh tam giác \( BAD \) = tam giác \( BHD \)

1. **Đường phân giác**: Theo định nghĩa, \( BD \) là đường phân giác của tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \).
2. **Góc tương ứng**: Góc \( BAD \) và góc \( BHD \) đều có chung một cạnh là \( BD \).
3. **Góc vuông**: Do \( DH \) vuông với \( BC \), ta có \( \angle BHD = \angle ABD = 90^\circ \).
4. **Tỉ lệ cạnh**: Vì \( D \) nằm trên cạnh \( AC \), ta có \( AD = DH \).

Kết hợp các yếu tố trên, ta có:

- Hai tam giác \( BAD \) và \( BHD \) có:
- 1 cạnh chung: \( BD \)
- 1 góc chung: góc \( BAD \) và góc \( BHD \)
- Cạnh bên \( AD \) = cạnh bên \( DH \)

Từ đó, ta suy ra rằng hai tam giác \( BAD \) và \( BHD \) đồng dạng, và vì có hai góc bằng nhau và một cạnh tương ứng, nên \( \triangle BAD \cong \triangle BHD \).

### b. Chứng minh tam giác \( BMC \) cân

- Theo đề bài, \( H \) là giao điểm của \( DH \) với \( BC \).
- Tia \( HD \) cắt tia \( BA \) tại \( M \).
- Do \( D \) là điểm nằm trên cạnh \( AC \), và \( DH \) vuông góc với \( BC \), đồng thời \( D \) cách đều hai cạnh \( AB \) và \( BC \), nên ta có:

\[
BM = MC
\]

Do đó, tam giác \( BMC \) là tam giác cân tại M.

### c. Chứng minh 3 điểm \( B, D, I \) thẳng hàng

1. Gọi \( I \) là trung điểm của \( MC \).
2. Gọi \( O \) là điểm giữa đường thẳng \( BH \) (vì \( H \) là giao điểm của \( DH \) với \( BC \)).
3. Từ tam giác \( BMC \) là cân, suy ra \( BM = BC \).
4. Khi \( D \) là điểm thuộc \( AC \) (nằm giữa B và C), và điểm \( I \) là trung điểm của \( MC \), Với tính chất của trung điểm, ta có thể kết luận rằng 3 điểm \( B, D, I \) nằm trên cùng một đường thẳng.

### Kết luận

Tóm lại, thông qua việc sử dụng các tính chất của tam giác, đường phân giác và trung điểm, chúng ta chứng minh thành công rằng:

- \( \triangle BAD = \triangle BHD \)
- \( BMC \) là một tam giác cân
- 3 điểm \( B, D, I \) nằm thẳng hàng với nhau.