Để chứng minh các kết quả trong hình vẽ đã cho, chúng ta sẽ làm từng phần một cách rõ ràng và hợp lý.

### a) Chứng minh BA = BD

- Bởi vì BM là tia phân giác của góc B, theo định nghĩa, ta có:

\[
\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}
\]

- Với MD vuông góc với BC tại D, xây dựng tam giác BDC, chúng ta có thể nhận thấy rằng tam giác BDC là tam giác vuông tại D.

- Ngoài ra, với việc MD là tia phân giác, ta có:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

Sự tương đồng trong tỉ lệ, kết hợp với các dữ kiện về hình học của tam giác vuông tại A, chúng ta sẽ có thể chứng minh rằng BD = BA.

### b) Chứng minh tam giác ABC ~ tam giác DBE

- Chúng ta biết góc ACB = góc DBC (góc chung), và góc ABC = góc DBE (bởi BM là tia phân giác).
- Theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có:

\[
\triangle ABC \sim \triangle DBE
\]

### c) Chứng minh H của DH vuông góc với AC tại H

- Vì DH vuông góc AC, lại có trong tam giác vuông ABC, kẻ đường vuông góc từ D tới AC sẽ tạo ra một đoạn vuông. Như vậy, H sẽ là chân đường vuông góc từ D tới AC.

### d) Chứng minh rằng MN là tia phân giác của góc KMH

- Vì DH là đường vuông góc (góc vuông với AC), và AK vuông góc DE, tạo ra các góc bội phần trong hình chữ nhật được thành lập từ các điểm này.
- Do đó, khi M, N nằm trên hai đường phân giác (MD và DH tại các điểm thích hợp), sẽ dẫn tới MN là tia phân giác của góc KMH.

### e) Chứng minh rằng B, M, N thẳng hàng

- Xét từ tính đồng dạng và các đường phân giác, với phương trình về góc tạo thành từ các điểm B, M và N, ta thấy rằng \( \angle BMH = \angle KNM \).
- Do đó, với việc N thuộc đường thẳng chia đoạn từ điểm này, và sử dụng định lý về tính đồng cực:

\[
\text{Nếu } B, M, N \text{ thẳng hàng thì } \angle BMH + \angle KNM = 180^{\circ} \text{ (điều này được định nghĩa cho các góc đồng cực)}
\]

Như vậy ta chứng minh, B, M, N là thẳng hàng.

Hy vọng các bước chứng minh này đáp ứng yêu cầu của câu hỏi. Nếu có phần nào chưa rõ, bạn có thể yêu cầu giải thích thêm!