Để chứng minh các thuộc tính trong bài toán về các đường tròn tiếp xúc ngoài và các điểm liên quan, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách tỉ mỉ.

### a. Chứng minh B, A, E và C, A, D thẳng hàng.

1. **Xét các tam giác tứ giác:**
- Đường tròn tâm \( O \) có \( A \) là tiếp điểm của tiếp tuyến \( BC \).
- Đường tròn tâm \( O' \) cũng có tiếp điểm là \( A \).
- \( OA \perp BC \) (do tính chất tiếp tuyến).
- \( O'A \perp BC \) tương tự.

2. **Vẽ đường kính:**
- Vẽ đường kính \( BOD \) của đường tròn tâm \( O \), do đó điểm \( A \) nằm trên đường thẳng này.
- Tương tự, vẽ đường kính \( CO'E \) của đường tròn tâm \( O' \), điểm \( A \) cũng nằm trên đường thẳng này.

3. **Chứng minh thẳng hàng:**
- Vì \( OA \perp BC \) và \( O'A \perp BC \) nên \( OA \) và \( O'A \) đều vuông góc với cùng một đường thẳng \( BC \).
- Do đó, điểm \( A \) nằm giữa \( B \) và \( E \) cũng như giữa \( C \) và \( D \).

Kết luận: \( B, A, E \) và \( C, A, D \) thẳng hàng.

### b. Chứng minh tam giác BAC và tam giác DAE có diện tích bằng nhau.

1. **Tính diện tích:**
- Diện tích tam giác có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]
Trong đó \( a \) là cạnh đáy và \( h \) là chiều cao tương ứng.

2. **Cạnh đáy:**
- Đối với tam giác \( BAC \), cạnh đáy là \( BC \).
- Đối với tam giác \( DAE \), cạnh đáy là \( DE \).

3. **Chiều cao:**
- Cả hai tam giác đều có chung chiều cao từ điểm \( A \) đến đoạn thẳng \( BC \) và đoạn thẳng \( DE \), vì \( OA \perp BC \) và \( O'A \perp DE \).

4. **Chứng minh:**
- Nếu gọi \( h \) là chiều cao từ \( A \) đến \( BC \) và \( d \) là chiều dài cạnh \( BC \), ta có:
\[
S_{BAC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h
\]
- Tương tự cho tam giác \( DAE \):
\[
S_{DAE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h
\]
- Do \( BC \) và \( DE \) tương ứng là các đoạn thẳng với cùng chiều cao \( h \), vì thế diện tích của hai tam giác này là bằng nhau:
\[
S_{BAC} = S_{DAE}
\]

### c. Gọi K là trung điểm của DE, chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 3 điểm \( O, K, O' \).

1. **Xét vị trí của điểm K:**
- \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DE \).
- Vì \( D \) và \( E \) đều nằm trên đường tròn, \( K \) sẽ là điểm giữa tuyến nối giữa hai điểm trên đường tròn.

2. **Tính chất của đường tròn:**
- Thời điểm \( BC \) là tiếp tuyến của đường tròn với tâm là trung điểm K, sẽ có tâm là trung điểm \( K \) của cạnh \( DE \).
- Theo quy tắc tiếp tuyến, khoảng cách từ điểm \( K \) đến đường thẳng \( BC \) chính là bán kính đường tròn.

3. **Chứng minh tiếp tuyến:**
- Thiết lập một đường tròn với tâm là \( K \) và bán kính là đoạn từ \( K \) đến \( BC \).
- Thay vì K nằm trên BC, ta có thể dùng định nghĩa tiếp tuyến:
\( OK \) và \( O'K \) theo định nghĩa vuông góc. Sau đó kiểm chứng từ \( K \) đến \( BC \) đảm bảo là bán kính.

Kết luận: Vì \( BC \perp OK \) sẽ chứng minh rằng \( BC \) là tiếp tuyến của đường tròn qua \( O, K, O' \).

Tóm lại, mỗi phần của bài toán được chứng minh dựa trên các tính chất hình học và tính chất của đường tròn, tiếp tuyến cùng với sự sắp đặt của các điểm.