Chứng minh rằng:

Để chứng minh yêu cầu của bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước một cho các phần a, b, và c như sau:

### a) Chứng minh $\triangle ABH = \triangle ACK$:

1. **Tính chất góc:**
- $\angle AHB = \angle ACK = 90^\circ$ (tại H và K đều là các góc vuông theo giả thiết).

2. **Cạnh chung:**
- Cạnh $[AB]$ là chung cho cả hai tam giác.

3. **Cạnh:**
- Cạnh $[AH] = [CK]$ (do B và C thuộc đường cao hạ từ A nên AH = CK theo định nghĩa).

Từ ba yếu tố trên (góc, cạnh, góc) ta suy ra:
$$\triangle ABH \cong \triangle ACK \quad (\text{theo tiêu chuẩn góc-cạnh-góc})$$

### b) Chứng minh $IB = IC$:

1. **Tính chất tam giác:**
- Xét tam giác $\triangle ABH$ và $\triangle ACK$ đã chứng minh ở trên.

2. **Độ dài cạnh:**
- Theo định nghĩa của điểm I là giao điểm của đường phân giác trong tam giác: thì IB và IC sẽ bằng nhau vì hai tam giác này có các yếu tố tương ứng bằng nhau (cạnh và góc đối diện).

Ta có thể kết luận rằng:
$$IB = IC$$

### c) Chứng minh $A, I, M$ thẳng hàng:

1. **Tính chất trung tuyến:**
- M là trung điểm của BC. Theo định nghĩa, M chia BH và CK thành hai đoạn bằng nhau khiến cho I đây chính là giao điểm của các đường phân giác.

2. **Điểm I nằm trên đoạn thẳng AM:**
- Vì A lie ở trên đường trung bình chia tam giác thành hai phần đồng dạng và điểm M đang nằm trên BC.

Do đó, kết luận tại đây:
$$A, I, M \text{ thẳng hàng}$$

Từ các phần đã chứng minh, chúng ta kết luận rằng các yếu tố được chỉ ra đúng.