Cho B, C là hai điểm nằm trên đường tròn(O; R). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt đường phân giác góc BOC tại A. H là giao điểm của AO và BC

Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần theo yêu cầu.

### Bài 21

a) **Chứng minh rằng tam giác BOH vuông tại O: \( OB^2 = OH \cdot OA \)**

- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn. Từ điều kiện kẻ đường thẳng vuông góc với \( OB \) và cắt đường phân giác góc \( BOC \) tại \( A \), ta có:
- \( OA \) là phân giác của \( \angle BOC \).
- Do đó, áp dụng định lý sin trong tam giác \( BOA \) và tam giác \( COA \):
\[
\frac{OB}{OA} = \frac{OC}{OA}
\]
- Theo định lý Pytago trong tam giác vuông \( BOH \):
\[
OB^2 = OH^2 + OA^2
\]
- Do đó, chứng minh rằng \( OB^2 = OH \cdot OA \).

b) **Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn \( (O;R) \)**

- Theo định nghĩa của tiếp tuyến, ta cần chỉ ra rằng \( OA \perp AC \).
- Do \( A \) là giao điểm của đường phân giác \( BOH \) và \( AC \) cắt ở \( O \), có nghĩa là \( OA \) vuông góc với \( AC \).
- Vậy nên, \( AC \) là tiếp tuyến tại điểm \( A \).

### Bài 23

- Để giải bài cho mảnh gương, sử dụng thông tin về chiều dài và góc treo:
1. Khi tổng độ dài dây treo là 6m và góc 60°, ta tính chiều cao từ gương đến trần.
2. Áp dụng công thức hình học để tính chiều cao \( h \) và chiều dài căng thẳng dây \( L \).

### Bài 51

- Với đường tròn tâm \( O \), ta có:
1. Gọi \( M \) là điểm trên đường tròn và \( D \) là điểm trong khoảng \( A \) và \( B \).
2. Chứng minh rằng \( COD \) là tam giác vuông nếu \( D \) được xác định bởi các tiếp tuyến từ \( A \) và \( B \).

Tóm lại, đây là các hướng dẫn và phương pháp giải cho từng câu hỏi trong bài toán. Nếu cần chi tiết hơn cho từng phần, vui lòng cho biết!