Để giải bài toán này, ta sẽ hoàn thành từng phần một.

**a) Chứng minh rằng \( \triangle AIM \cong \triangle BIN \)**:

- Xét điểm I là trung điểm của MN, nên \( MI = IN \).
- Ta cũng có \( AI = IB \) theo giả thiết.
- Góc \( \angle AIB = \angle BIA \) vì \( B \) nằm trong tia đối của tia IA.
- Theo tiêu đề, ta có \( \triangle AIM \cong \triangle BIN \) theo tiêu chuẩn hai cạnh và góc: \( MI = IN \), \( AI = IB \), và \( \angle AIB = \angle BIA \).

**b) Chứng minh rằng \( AM \parallel NB \)**:

Từ \( \triangle AIM \cong \triangle BIN \) vừa chứng minh, ta có \( AM = BN \) (cạnh tương ứng), và \( \angle AIM = \angle BIN \) (góc tương ứng). Bởi vì hai góc nào bị cắt bởi một đường thẳng chéo, \( AM \parallel NB \).

**c) Kẻ MH và NK vuông góc với AB (H, K thuộc AB)**:

Ta kẻ đường thẳng MH vuông góc với AB tại điểm H và đường thẳng NK vuông góc với AB tại điểm K.

Để chứng minh \( I \) là trung điểm của HK:

- Về mặt hình học, khi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M và N lên đường thẳng AB, thì I chính là trung điểm của HK vì I là trung điểm của MN.


Do vậy, qua những phần chứng minh trên, ta đã khép lại bài toán được yêu cầu.