Để chứng minh \( \triangle ABD \sim \triangle HBI \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường phân giác.

### Chứng minh \( \triangle ABD \sim \triangle HBI \)

1. **Góc vuông:**
- Vì \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), nên \( \angle A = 90^\circ \).
- \( AH \) là đường cao, do đó \( \angle HAI = \angle ABI \) (cùng nhìn ra điểm \( H \)).
- \( \angle HBI = \angle A \) (cùng nhìn ra điểm \( B \)).

Như vậy, ta có:
\[
\angle ADB = \angle HBI
\]

2. **Góc chung:**
- \( \angle BAD \) là góc chung của hai tam giác \( ABD \) và \( HBI \).

3. **Áp dụng tiêu chuẩn góc-góc (G-G):**
- Từ các thông tin trên, ta có:
\[
\angle ADB = \angle HBI \quad \text{và} \quad \angle BAD = \angle BAI
\]
Do đó, theo tiêu chuẩn góc-góc, ta có \( \triangle ABD \sim \triangle HBI \).

### Chứng minh \( \triangle ADI \) là tam giác cân

1. **Công nhận độ dài:**
- \( AH \) là đường cao, tức là \( AH \perp BC \).
- Vì \( BD \) là đường phân giác, nên cả hai đoạn \( AB \) và \( AD \) đều cách đều hai cạnh của góc \( A \).

2. **Suy ra tính chất của tam giác:**
- Ta có \( \angle ABI = \angle AID \) (do đường phân giác).
- Đồng thời, từ \( \triangle AHD \) và tính vuông góc của \( AH \), suy ra \( AI = AI \) (đoạn chung).

3. **Áp dụng tiêu chuẩn 2 góc và cạnh kề:**
- Do đó, \( \triangle ADI \) là tam giác cân với \( AB = AD \).

### Kết luận
- Ta đã chứng minh \( \triangle ABD \sim \triangle HBI \) và \( \triangle ADI \) là tam giác cân.