Để chứng minh hai kết quả trong bài toán này, chúng ta cần xác định một số tính chất hình học liên quan đến đường tròn (O), các điểm A, B, C và I.

### Giả thiết và ký hiệu

- Gọi O là tâm của đường tròn (O).
- B, C là hai điểm trên đường tròn, tạo thành đường kính.
- A là một điểm trên đường tròn, cách B, C một khoảng nhất định.
- R là bán kính của đường tròn (O).
- I là điểm tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC.
- IO là khoảng cách từ I đến O (tâm của đường tròn).

### Chứng minh a: \( IB \cdot IC = IO^2 - R^2 \)

1. **Áp dụng định lý Pythagore:**
Xét tam giác OAI, trong đó OA vuông góc với đường thẳng IJ (vì IA là tiếp tuyến). Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác OAI:
\[
IO^2 = OA^2 + AI^2
\]

Bởi vì A nằm trên đường tròn có bán kính R, nên:
\[
OA = R \implies IO^2 = R^2 + AI^2
\]
Suy ra:
\[
AI^2 = IO^2 - R^2
\]

2. **Tính IB và IC:**
Gọi D là điểm trên đường thẳng BC sao cho D là hình chiếu của A lên BC. Sẽ có:
\[
IB = ID + DB, \quad IC = ID + DC
\]
Tuy nhiên, để tìm IB và IC, ta cần dùng hình chiếu.

3. **Tính IB.IC:**
Ta có thể thấy rằng \( IB \cdot IC = AI^2 \) từ định lý secante trong hình tròn, tức là:
\[
IB \cdot IC = AI^2
\]

4. **Kết hợp các kết quả:**
Từ 1 và 3 ta có:
\[
IB \cdot IC = AI^2 = IO^2 - R^2
\]
=> Chứng minh đúng.

### Chứng minh b: \( IB \cdot IC = IA^2 \)

1. **Tính IA:**
Ta có \( IA \) là chiều dài tiếp tuyến từ I đến A và theo định nghĩa tính chất tiếp tuyến, ta đã chứng minh ở trên rằng:
\[
AI^2 = IO^2 - R^2
\]

2. **Áp dụng định lý secante:**
Áp dụng lại định lý secante, kết quả trước đó cho thấy:
\[
IB \cdot IC = AI^2
\]
**Vậy có:**
\[
IB \cdot IC = IA^2
\]

### Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh thành công hai kết quả:
1. \( IB \cdot IC = IO^2 - R^2 \)
2. \( IB \cdot IC = IA^2 \)

Điều này cho thấy tính chất của đoạn thẳng và các mối quan hệ giữa các điểm hình học trong hình tròn.