Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### a) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi \( m = 1 \):

1. **Thay giá trị \( m = 1 \) vào phương trình đường thẳng (d)**:
\[
y = 1x - 2(1) + 4 = x + 2
\]

2. **Thiết lập phương trình giao điểm**:
Ta cần giải hệ phương trình:
\[
y = x^2 \quad \text{(phương trình của parabol)}
\]
\[
y = x + 2 \quad \text{(phương trình của đường thẳng)}
\]
Kết hợp hai phương trình:
\[
x^2 = x + 2
\]
\[
x^2 - x - 2 = 0
\]

3. **Giải phương trình bậc hai**:
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad a = 1, b = -1, c = -2
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}
\]
\[
x_1 = 2, \quad x_2 = -1
\]

4. **Tính tọa độ giao điểm**:
Thay \( x_1 \) và \( x_2 \) vào một trong hai phương trình để tìm \( y \):
- Với \( x_1 = 2 \):
\[
y_1 = 2^2 = 4
\]
- Với \( x_2 = -1 \):
\[
y_2 = (-1)^2 = 1
\]

Vậy các giao điểm là:
\[
A(2, 4) \quad \text{và} \quad B(-1, 1)
\]

### b) Tìm \( m \) để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt \( x_1, x_2 \) sao cho \( x_1^2 + x_2^2 \) có giá trị nhỏ nhất:

1. **Thiết lập lại phương trình giao điểm với đường thẳng tổng quát**:
\[
y = mx - 2m + 4
\]
Cần giải hệ:
\[
x^2 = mx - 2m + 4
\]
\[
x^2 - mx + (2m - 4) = 0
\]

2. **Tính điều kiện có hai nghiệm phân biệt**:
Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, cần:
\[
b^2 - 4ac > 0
\]
Tính toán:
\[
(-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 4) > 0
\]
\[
m^2 - 8m + 16 > 0
\]
Phân tích bất phương trình:
\[
(m - 4)^2 > 0
\]
Vậy \( m \neq 4 \).

3. **Tìm điều kiện để \( x_1^2 + x_2^2 \) nhỏ nhất**:
Dùng công thức:
\[
x_1 + x_2 = m \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = 2m - 4
\]
Từ đó:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = m^2 - 2(2m - 4)
\]
\[
= m^2 - 4m + 8
\]
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc 2:
\[
\text{Đỉnh} \ k = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2
\]

Tại \( m = 2 \):
\[
x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 8 = 4 - 8 + 8 = 4
\]

### Kết luận:
- Các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi \( m = 1 \) là \( A(2, 4) \) và \( B(-1, 1) \).
- Giá trị \( m \) để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt sao cho \( x_1^2 + x_2^2 \) nhỏ nhất là \( m = 2 \).