Để chứng minh rằng \(\Delta ANM = \Delta BNM\) và \(M\) là trung điểm của \(AC\), ta có thể làm theo các bước dưới đây.

### Bước 1: Chứng minh \(\Delta ANM = \Delta BNM\)

1. **Tam giác chung**: \(\Delta ANM\) và \(\Delta BNM\) có cạnh \(NM\) chung.

2. **Chứng minh các cạnh tương ứng**:
- \(AM = MB\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AC\))
- \(AN = BN\) (do đường cao từ \(B\) đến \(AC\) cắt \(AC\) tại \(M\), và \(BK\) là đường cao từ \(B\) đến \(AC\), tức là \(AN = BN\))

3. **Góc chung**: \(\angle ANM = \angle BNM\) (cùng là góc giữa cạnh \(NM\) và đường cao từ \(B\) xuống \(AC\)).

Từ các yếu tố trên, ta có thể kết luận rằng \(\Delta ANM = \Delta BNM\) theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CAC).

### Bước 2: Chứng minh điểm \(E\) cách đều \(MB\) và \(BC\)

1. **Giả thiết**: Gọi \(E\) là điểm cắt giữa đường cao \(BK\) và \(AB\).

2. **Tính chất của điểm**: Do \(BK\) là đường cao, theo tính chất tam giác vuông, \(BE \perp AC\).

3. **Chứng minh cách đều**:
- Điểm \(E\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(MB\), vì vậy:
\[
EM = EB
\]
- Do đó, \(E\) cách đều \(MB\) và \(BC\).

### Kết luận:
- Với các chứng minh trên, ta đã hoàn thành hai phần yêu cầu của bài toán. Do đó, ta có \(\Delta ANM = \Delta BNM\) và \(E\) cách đều \(MB\) và \(BC\).

Nếu bạn cần thêm bất kỳ phần nào hay có phần cụ thể nào cần giải thích hơn, hãy cho tôi biết!