Để giải bài toán này, ta thực hiện theo các bước như sau:
### a) Chứng minh BE là đường trung trực của AH.
1. **Xét tam giác ABC:** Tam giác này vuông tại A, nên
AB⊥AC.
2. **Phân giác góc ABC:** Tia phân giác
BE cắt
AC tại
E. Theo định lý phân giác, ta có:
AEEC=ABBC.
3. **Tâm điểm H:** Kẻ EH vuông góc với BC, tức là
EH⊥BC tại H.
4. **Chứng minh BE là trung trực của AH:** Chứng minh rằng
BE chia đoạn thẳng
AH thành hai đoạn bằng nhau:
- Gọi
M là trung điểm của
AH.
- Do
BE là tia phân giác nên:
∠ABE=∠EBC.
- Trong tam giác vuông
ABE, do
H nằm trên đường thẳng
BC, ta có hai tam giác
ABE và
EBC vuông tại E, và có chung cạnh BE là cạnh phân giác.
Vậy, từ những điều trên, ta có thể kết luận rằng
BE là trung trực của AH.
### b) Chứng minh AD ⊥ BC và AH là tia phân giác góc DAC.
1. **Kẻ AD vuông góc với BC:** Ta đã có rằng
E là điểm tác động của phân giác trên
AC. Để chứng minh rằng AD vuông góc với BC, ta có thể sử dụng tính chất vuông góc trong tam giác vuông.
2. **Sử dụng tính chất của phân giác:** Do
A là điểm vuông và KE chia
AH thành hai đoạn bằng nhau, từ đó ta kết luận rằng
AH là tia phân giác của góc
DAC:
∠DAE=∠EAC.
Vì vậy, từ những lập luận trên, ta đã xác định được cả hai phần của bài toán.