Cho ∆ABC, điểm M là trung điểm BC. Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại K, tia phân giác của góc AMC cắt AC tại D

Để giải quyết bài toán, ta sẽ từng bước thực hiện các yêu cầu.

**a) Chứng minh DK // BC:**

Theo định lý tia phân giác, ta có:

\[
\frac{AK}{KB} = \frac{AM}{MB} \quad (1)
\]
và
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AM}{MC} \quad (2)
\]

Từ (1) và (2), ta có:

\[
\frac{AK}{KB} = \frac{AD}{DC}
\]

Từ tỷ lệ trên, theo định lý Thales, nếu 2 đoạn thẳng AK và AD tỉ lệ với 2 đoạn MB và MC thì đoạn thẳng DK sẽ song song với BC.

Vậy DK // BC.

---

**b) Cho KD = 10 cm, KA/KB = 5/3. Tính BC:**

Theo tỉ lệ phân giác, từ KA/KB = 5/3, ta có:

\[
K \text{ chia } AB \text{ thành } \; 5x \text{ và } 3x.
\]

Giả sử:

\[
KA = 5x, \quad KB = 3x \Rightarrow AB = KA + KB = 5x + 3x = 8x.
\]

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MB = MC\).

Từ yêu cầu KA/KB = 5/3, tỷ lệ này tương ứng với các đoạn dài. Ta có thể tính BC từ đoạn KD.
Theo tính chất của đồng dạng, có:

\[
\frac{KD}{K(BM)} = \frac{KA}{KB} = \frac{5}{3}.
\]

Gọi \(BM=y\). Khi đó:

\[
KD = 10 \Rightarrow K(BM) = y
\]

Ta có:

\[
\frac{10}{y}=\frac{5}{3} \Rightarrow 10 \cdot 3 = 5y \Rightarrow 30 = 5y \Rightarrow y = 6.
\]

Như vậy:

\[
MB = 6 \text{ và } BC = MB + MC = y + y = 2y = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm}.
\]

Vậy, giá trị dài BC là **12 cm**.

---

**c) Chứng minh AM/MB = AD/DC:**

Từ định lý Thales về tia phân giác, từ các tỉ số đã có, có thể diễn giải lại thuyết này.

Theo định lý tia phân giác đã chứng minh ở phần a, ta có:

\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AK}{KB} \quad \text{và} \quad \frac{AD}{DC} = \frac{AK}{KB}.
\]

Khi đó:

\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AD}{DC}.
\]

Vậy, \(AM/MB = AD/DC\) đã được chứng minh.

---

**d) Chứng minh E là trung điểm của KD:**

Ta đã có \(AM/MB = AD/DC\), từ đó đủ điều kiện \( E \) sẽ chia đoạn \(KD\) thành 2 phần bằng nhau.

Xét quan hệ tỉ lệ, từ đó ta suy ra:

\[
\frac{AM}{AD} = \frac{DE}{DC}.
\]

\[AM\] và \(MB\) là tỷ lệ mà E sẽ cắt KD, do đó \(E\) sẽ chia KD trong tỷ lệ 1:1. Suy ra \(E\) là trung điểm của đoạn KD.

Vậy, \(E\) là trung điểm của \(KD\).

Đáp án cho mỗi phần yêu cầu được trình bày rõ ràng như trên.