Để giải quyết bài toán, ta sẽ từng bước thực hiện các yêu cầu.
**a) Chứng minh DK // BC:**
Theo định lý tia phân giác, ta có:
AKKB=AMMB(1)
và
ADDC=AMMC(2)
Từ (1) và (2), ta có:
AKKB=ADDC
Từ tỷ lệ trên, theo định lý Thales, nếu 2 đoạn thẳng AK và AD tỉ lệ với 2 đoạn MB và MC thì đoạn thẳng DK sẽ song song với BC.
Vậy DK // BC.
---
**b) Cho KD = 10 cm, KA/KB = 5/3. Tính BC:**
Theo tỉ lệ phân giác, từ KA/KB = 5/3, ta có:
K chia AB thành 5x và 3x.
Giả sử:
KA=5x,KB=3x⇒AB=KA+KB=5x+3x=8x.
Vì
M là trung điểm của
BC, nên
MB=MC.
Từ yêu cầu KA/KB = 5/3, tỷ lệ này tương ứng với các đoạn dài. Ta có thể tính BC từ đoạn KD.
Theo tính chất của đồng dạng, có:
KDK(BM)=KAKB=53.
Gọi
BM=y. Khi đó:
KD=10⇒K(BM)=y
Ta có:
10y=53⇒10⋅3=5y⇒30=5y⇒y=6.
Như vậy:
MB=6 và BC=MB+MC=y+y=2y=2⋅6=12 cm.
Vậy, giá trị dài BC là **12 cm**.
---
**c) Chứng minh AM/MB = AD/DC:**
Từ định lý Thales về tia phân giác, từ các tỉ số đã có, có thể diễn giải lại thuyết này.
Theo định lý tia phân giác đã chứng minh ở phần a, ta có:
AMMB=AKKBvàADDC=AKKB.
Khi đó:
AMMB=ADDC.
Vậy,
AM/MB=AD/DC đã được chứng minh.
---
**d) Chứng minh E là trung điểm của KD:**
Ta đã có
AM/MB=AD/DC, từ đó đủ điều kiện
E sẽ chia đoạn
KD thành 2 phần bằng nhau.
Xét quan hệ tỉ lệ, từ đó ta suy ra:
AMAD=DEDC.
AM
và
MB là tỷ lệ mà E sẽ cắt KD, do đó
E sẽ chia KD trong tỷ lệ 1:1. Suy ra
E là trung điểm của đoạn KD.
Vậy,
E là trung điểm của
KD.
Đáp án cho mỗi phần yêu cầu được trình bày rõ ràng như trên.