x² + 2(m - 3)x + m² - 3 = 0
a = 1, b = 2(m - 3), c = m² - 3
Δ = b² - 4ac = [2(m - 3)]² - 4 * 1 * (m² - 3) = 4(m² - 6m + 9) - 4m² + 12 = 4m² - 24m + 36 - 4m² + 12 = -24m + 48
Để phương trình có nghiệm, Δ ≥ 0 ⇔ -24m + 48 ≥ 0 ⇔ -24m ≥ -48 ⇔ m ≤ 2
x² - 2(m + 2)x + m² + 4m + 3 = 0
a = 1, b = -2(m + 2), c = m² + 4m + 3
Δ = b² - 4ac = [-2(m + 2)]² - 4 * 1 * (m² + 4m + 3) = 4(m² + 4m + 4) - 4m² - 16m - 12 = 4m² + 16m + 16 - 4m² - 16m - 12 = 4
Vì Δ = 4 > 0 với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
x² - 2(m + 2)x + m + 1 = 0
a = 1, b = -2(m+2), c = m+1
Δ = b² - 4ac = [-2(m+2)]² - 4 * 1 * (m+1) = 4(m² + 4m + 4) - 4m - 4 = 4m² + 16m + 16 - 4m - 4 = 4m² + 12m + 12
Để phương trình có nghiệm, Δ ≥ 0 ⇔ 4m² + 12m + 12 ≥ 0 ⇔ m² + 3m + 3 ≥ 0
Xét Δ' = 3² - 413 = 9 - 12 = -3 < 0. Vì hệ số a = 1 > 0, nên m² + 3m + 3 > 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.