Để chứng minh tổng của dãy số
S=12+14+16+…+198 và kiểm tra xem tổng này có thể viết dưới dạng mấy phần bảy, ta có thể bắt đầu bằng cách tìm công thức cho tổng này.
Trước tiên, ta có thể nhận thấy rằng dãy số này chứa các số của dạng
12k với
k=1,2,3,…,49. Tổng này có thể được viết lại như sau:
S=49∑k=112k
Ta có thể rút ra số 1/2 ra ngoài tổng:
S=1249∑k=11k
Tổng
∑49k=11k là tổng của các số nghịch đảo từ 1 đến 49. Chúng ta không cần tính chính xác các giá trị này, nhưng để kiểm tra xem tổng
S có phải là một số có thể chia hết cho 7 hay không, chúng ta cần tìm giá trị gần chính xác của
∑49k=11k.
Tổng số khoảng bằng:
n∑k=11k≈ln(n)+γ
trong đó
γ là hằng số Euler-Mascheroni, khoảng 0.577. Tuy nhiên, để không làm phức tạp bài toán, ta sẽ tính giá trị từng phần:
- Tổng số từ
1/1 đến
1/49 có thể tính bằng tay hoặc tìm hiểu qua bảng hoặc phần mềm.
Khi ta tính giá trị cụ thể tổng:
49∑k=11k≈3.8
Do đó:
S≈12×3.8≈1.9
Chúng ta quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện chia 7.
S=1.91 không phải là một số nguyên. Để có thể viết dưới dạng
ab với
b=7, ta có thể kiểm tra cụ thể tổng từng phần.
Phương pháp khác nhắc nhớ về việc dùng laọi số phân số, chúng ta có thể chuyển tất cả các phân số về dạng chung.
Việc này chắc chắn sẽ làm kết quả trở nên khá khổng lồ nhưng sẽ giúp tiếp cận vấn đề là tổng có là một số nguyên hay không và có thể biểu diễn dưới dạng tích số.
Vì thế, tổng
S=12+14+…+198 sẽ không thể chính xác chứng minh một cách trực tiếp bằng 7 do tính chất không nguyên. Ta cần một bước cụ thể hơn cho dạng bài này.
Tóm lại, bạn có thể thấy rằng tổng này không phải là bội của 7 và nó không thể viết dưới dạng
m7 mà
m∈Z để khẳng định điều này một cách kiên quyết hơn ta cần cụ thể hóa thêm giá trị từng phần.