Để chứng minh các phần trong bài toán đã nêu, chúng ta làm theo từng bước:
**Giả thiết:**
- Tam giác ABC cân tại A.
- AM là tia phân giác của góc A, M thuộc BC.
- D là điểm trên tia đối của BC, E là điểm trên tia đối của CB sao cho BD = CE.
**Cần chứng minh:**
1. Tam giác ABM bằng tam giác ACM.
2. AM vuông góc với BC.
3. Góc ADC = góc AEB.
### Chứng minh:
**1. Để chứng minh tam giác ABM bằng tam giác ACM:**
Ở đây, ta có:
- Cạnh AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).
- BM = CM (vì M nằm trên BC).
- Độ dài BD = CE (theo giả thiết).
Xét hai tam giác ABM và ACM:
- AB = AC (giả thiết).
- BM = CM.
- AM là chung cho 2 tam giác.
Theo tiêu chuẩn chứng minh tam giác bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh - C.C.C), ta có:
△ABM≅△ACM
**2. Chứng minh AM vuông góc với BC:**
Chúng ta có AM là tia phân giác của góc A. Do đó, theo tính chất của tia phân giác trong tam giác cân, tia AM sẽ vuông góc với cạnh BC:
AM⊥BC.
Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý cho tam giác cân: nếu AM là phân giác và tam giác ABC là tam giác cân, thì AM phải vuông góc với BC.
**3. Chứng minh góc ADC = góc AEB:**
Trước hết, hãy giả sử rằng D và E được chọn trên các tia đối của BC và CB sao cho BD = CE. Ta có:
- Góc ADB là góc ngoài của tam giác ABM.
- Góc AEB là góc ngoài của tam giác ACM.
Theo định lý về góc ngoài trong tam giác, ta có:
∠ADB=∠ABM+∠AMB
∠AEB=∠ACM+∠AMC
Bởi vì hai tam giác ABM và ACM bằng nhau, nên góc ABM = góc ACM và góc AMB = góc AMC. Do đó, cả hai góc ngoài đều bằng nhau:
∠ADC=∠AEB
### Kết luận:
- Chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác ABM bằng tam giác ACM.
- AM vuông góc với BC.
- Góc ADC bằng góc AEB.
Hy vọng phần chứng minh này giúp bạn hiểu rõ hơn về các tính chất của hình học trong bài toán này!