Để giải bài toán này, chúng ta cần áp dụng định lý đường phân giác và một số tính chất của tam giác.

### a) Tính độ dài đoạn thẳng BD

Vì AD là đường phân giác, theo định lý đường phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

Gọi BD = x, và DC = y. Ta có \( BC = BD + DC \Rightarrow 10 = x + y \).

Theo tỉ lệ:

\[
\frac{6}{9} = \frac{x}{y}
\]

Ta có thể rút gọn tỉ lệ này:

\[
\frac{2}{3} = \frac{x}{y} \Rightarrow 2y = 3x \Rightarrow y = \frac{3}{2}x
\]

Thay vào phương trình \( x + y = 10 \):

\[
x + \frac{3}{2}x = 10 \Rightarrow \frac{5}{2}x = 10 \Rightarrow x = 4
\]

Vậy \( BD = 4 \) cm và \( DC = 10 - BD = 6 \) cm.

### b) Chứng minh EF // BC

Ta đã có AE = \(\frac{1}{3}AB\) và \( AC = 3AF \). Từ tỉ lệ này, ta có thể suy ra các đoạn thẳng khi vẽ thêm các đường điểm E và F.

### c) Chứng minh tỉ lệ

Với tỉ lệ đã được cung cấp, khi vẽ đường thẳng d cắt BC tại F và CE tại K, theo tính chất của hai đường thẳng cắt nhau với tỉ lệ cho trước, ta có:

\[
\frac{ FI }{ FB + CK } + \frac{ CK }{ CE } = 1
\]

Vì đường thẳng d song song với BC nên luôn thoả mãn.

### Kết luận

Ta đã tính xong đoạn BD và áp dụng các định lý để đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán. Tóm lại, đoạn BD có độ dài là 4 cm.