Để giải bài toán này, ta cần tìm các giá trị nguyên
x và
y thoả mãn phương trình:
4(x−2023)3+y2=25
Bước 1: Biến đổi phương trình
Ta viết lại phương trình:
y2=25−4(x−2023)3
Bước 2: Xác định miền giá trị của
4(x−2023)3- Để
y2 không âm, cần có:
25−4(x−2023)3≥0
Hay:
4(x−2023)3≤25⇒(x−2023)3≤254≈6.25
- Do đó, ta có:
|x−2023|≤3√6.25≈1.85
- Suy ra:
2021≤x≤2024
Bước 3: Tính các giá trị của
y tương ứng với các giá trị của
x:
- **Khi
x=2021**:
y2=25−4(2021−2023)3=25−4(−2)3=25−4(−8)=25+32=57(không phải là bình phương nguyên)
- **Khi
x=2022**:
y2=25−4(2022−2023)3=25−4(−1)3=25−4(−1)=25+4=29(không phải là bình phương nguyên)
- **Khi
x=2023**:
y2=25−4(2023−2023)3=25−4(0)=25⇒y=±5
- **Khi
x=2024**:
y2=25−4(2024−2023)3=25−4(1)3=25−4(1)=25−4=21(không phải là bình phương nguyên)
Bước 4: Kết luận
Các giá trị nguyên
(x,y) thoả mãn phương trình là:
(2023,5)và(2023,−5)