Giải:
a) Chứng minh bốn điểm C, H, K, B cùng thuộc một đường tròn:
- Ta có: ∠CHB=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
- ∠CKB=90o (HK vuông góc với AB)
- Vậy tứ giác CHKB nội tiếp đường tròn đường kính CB.
b) Chứng minh CA là phân giác góc MCK:
- Ta có: ∠MCA=∠MBA (cùng chắn cung MA)
- ∠MKB=∠MCB (cùng chắn cung MB)
- Mà ∠MKB=∠HKA (đối đỉnh)
- Suy ra: ∠MCA=∠HKA
- Do đó, CA là phân giác góc MCK.
c) Chứng minh PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK:
- Chứng minh tứ giác APHB nội tiếp:
- Ta có: ∠APB=90o (AP là tiếp tuyến)
- ∠AHB=90o (HK vuông góc với AB)
- Vậy tứ giác APHB nội tiếp đường tròn đường kính AB.
- Từ đó suy ra:
- ∠PAH=∠PBH (cùng chắn cung PH)
- Mà ∠PAH=∠MAK (đối đỉnh)
- Nên ∠PBH=∠MAK
- Mặt khác, ta có: ∠MAK=∠MBA (cùng chắn cung MA)
- Suy ra: ∠PBH=∠MBA
- Do đó, tứ giác PBHM nội tiếp.
- Gọi I là giao điểm của PB và HK.
- Ta có: ∠PIH=∠PBH (cùng chắn cung PH)
- Mà ∠PBH=∠MBA (chứng minh trên)
- Và ∠MBA=∠MCA (cùng chắn cung MA)
- Nên ∠PIH=∠MCA
- Mà ∠MCA=∠HKA (chứng minh ở câu b)
- Suy ra: ∠PIH=∠HKA
- Vậy tứ giác PHIK nội tiếp.
- Do đó, PI.PH = PK.IH (định lý Ptolemy)
- Mặt khác, từ giả thiết AP.MB = MA.R, ta có: AP/MA = R/MB
- Áp dụng định lý Thales trong tam giác APM và tam giác BMA, ta có: PI/MH = AP/MA = R/MB
- Từ đó suy ra: PI.PH = PK.MH
- So sánh hai đẳng thức trên, ta được: PK.IH = PK.MH
- Suy ra: IH = MH
- Vậy I là trung điểm của HK.
Kết luận: PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.