C19: a) Chứng minh: △ABE = △FBE:
Cạnh BA = BF: (theo giả thiết)
Góc ABE = góc FBE: (BE là tia phân giác của góc ABC)
Cạnh BE chung:
Vậy, △ABE = △FBE (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).
b) Chứng minh: EF ⊥ BC:
△ABE = △FBE: (chứng minh ở câu a)
Suy ra AB = BF và AE = EF: (hai cạnh tương ứng)
△ABF cân tại B: (vì AB = BF)
BE là đường phân giác của góc B trong tam giác cân ABF:
Suy ra BE cũng là đường cao của tam giác ABF:
Vậy BE ⊥ AF:
Mà AE = EF (chứng minh trên):
Suy ra E là trung điểm của AF:
Trong tam giác cân ABF, đường cao BE đồng thời là đường trung tuyến:
Vậy E là trung điểm của AF:
Xét tam giác ABC vuông tại A, có BE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC:
Suy ra BE = 1/2 BC:
Mà BF = BA:
Suy ra BF = 1/2 BC:
Vậy F là trung điểm của BC:
Xét tam giác AEF có E là trung điểm của AF và F là trung điểm của BC:
Suy ra EF là đường trung bình của tam giác ABC:
Vậy EF // AB:
Mà AB ⊥ AC:
Suy ra EF ⊥ AC:
Mà AC cắt BC tại C:
Vậy EF ⊥ BC.
c) Chứng minh ba điểm B, E, M thẳng hàng:
EF ⊥ BC: (chứng minh ở câu b)
Suy ra góc EFC = 90 độ:
Mà góc EFC và góc EFM là hai góc kề bù:
Suy ra góc EFM = 90 độ:
Xét tam giác EMC có ME = EC (theo giả thiết):
Suy ra tam giác EMC cân tại E:
Mà EF là đường cao của tam giác EMC (do góc EFM = 90 độ):
Suy ra EF cũng là đường trung tuyến của tam giác EMC:
Vậy F là trung điểm của MC:
Ta có F là trung điểm của BC (chứng minh ở câu b):
Suy ra B, F, C thẳng hàng:
Mà F nằm trên đường thẳng EF:
Suy ra B, E, F, C thẳng hàng:
Mà M nằm trên tia đối của tia EF:
Suy ra B, E, M thẳng hàng.
Vậy, ba điểm B, E, M thẳng hàng.
Xem thêm (+)