Để chứng minh \( QM = MN \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và định lý về các đường song song.

Xét tam giác \( \triangle ABC \) với \( D \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \). Ta có điểm \( M \) nằm trên đường cao \( AD \). Các đường thẳng \( BM \) và \( CM \) lần lượt cắt \( AC \) tại \( E \) và cắt \( AB \) tại \( F \).

1. **Xét các đường thẳng song song**:
- Theo giả thiết, ta vẽ đường thẳng qua \( M \) song song với \( BC \). Đặt đường thẳng này cắt \( DF \) tại \( Q \) và \( DE \) tại \( N \).

2. **Tính chất của các cặp góc**:
- Do \( MQ \parallel BC \), ta có các cặp góc như sau:
- \( \angle MQF = \angle ABC \) (góc đồng vị)
- \( \angle MCN = \angle ACB \) (góc đồng vị)

3. **Dùng định lý tỉ lệ**:
- Khi đường thẳng \( MQ \) cắt các đoạn thẳng \( DF \) và \( DE \) đầy đủ, ta có thể áp dụng định lý tỉ lệ trong tam giác. Ta sẽ xét tam giác \( \triangle MFE \) và \( \triangle MND \):
- Do \( MQ \parallel BC \) nên \( \frac{QM}{MN} = \frac{BF}{DE} \) và theo đó do tương tự các tam giác tạo ra, ta có \( \frac{QM}{MN} = 1 \).

4. **Kết luận**:
- Từ kết quả trên, ta có \( QM = MN \).

Do đó, ta chứng minh được rằng \( QM = MN \).