Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tìm đáp án cho từng câu hỏi trong bài.

### a) Đường thẳng BC có một vector chỉ phương là $\overrightarrow{BC} = (-4; 4)$

Đầu tiên, ta tính vector chỉ phương $\overrightarrow{BC}$:
$$\overrightarrow{BC} = C - B = (0 - 4, 4 - 0) = (-4, 4)$$

### b) Đường thẳng BC có một vector pháp tuyến là $\mathbf{n} = (1; 1)$

Vector pháp tuyến của đường thẳng BC có thể được tính bằng cách lấy một vector vuông góc với vector chỉ phương $\overrightarrow{BC} = (-4, 4)$. Một vector pháp tuyến có thể là $\mathbf{n} = (1, 1)$.

### c) Đường thẳng BC có phương trình tham số là
$$\begin{cases} x = 4 + t \\ y = t \end{cases}$$
Ta có thể lập phương trình tham số từ điểm B(4,0) và vector chỉ phương. Phương trình tham số có dạng:
$$\begin{cases} x = 4 - 4t \\ y = 0 + 4t \end{cases}$$

### d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng BC bằng 1.

Khoảng cách từ điểm $O(0,0)$ đến đường thẳng BC có thể tính bằng công thức:
$$d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$
trong đó $Ax + By + C = 0$ là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Từ vector pháp tuyến $n = (1, 1)$, ta có:

- $A = 1$, $B = 1$, và $C = -4$ (do đường thẳng đi qua điểm (4,0) và (0,4)).

Áp dụng vào công thức khoảng cách, ta tính như sau:
$$d = \frac{|1*0 + 1*0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$

Kết quả khoảng cách không bằng 1. Bạn có thể kiểm tra lại hoặc thực hiện điều chỉnh phù hợp.

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn!