Để tính khoảng cách giữa đường thẳng BC' và cạnh AA' của hình lăng trụ đứng ABCA'B'C', trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm trong không gian.

1. **Tọa độ các điểm:**
- Giả sử A có tọa độ (0, 0, 0)
- B sẽ có tọa độ (a, 0, 0)
- C sẽ có tọa độ (0, 2a, 0)
- Điểm A' sẽ có tọa độ (0, 0, 2a)
- Điểm B' sẽ có tọa độ (a, 0, 2a)
- Điểm C' sẽ có tọa độ (0, 2a, 2a)

2. **Đường thẳng BC':**
- Điểm B có tọa độ (a, 0, 0) và điểm C' có tọa độ (0, 2a, 2a).
- Phương trình tham số của đoạn thẳng BC' có thể được viết như sau:
\[
\begin{align*}
x &= a(1-t) \\
y &= 2at \\
z &= 2at
\end{align*}
\]
với \( t \) chạy từ 0 đến 1.

3. **Đường thẳng AA':**
- Tọa độ của điểm A là (0, 0, 0) và A' là (0, 0, 2a).
- Đoạn thẳng AA' chỉ có phương trình z thay đổi:
\[
x = 0, \quad y = 0, \quad z = 2at
\]
với \( t \) từ 0 đến 1.

4. **Tính khoảng cách:**
Để tìm khoảng cách từ đường thẳng BC' đến đường thẳng AA', ta có thể tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên BC' tới đường thẳng AA'.

- Lấy điểm B (a, 0, 0) trên đường thẳng BC'. Tọa độ của B là (a, 0, 0).
- Tọa độ của đường thẳng AA' là (0, 0, z) với z từ 0 đến 2a.

- Khoảng cách từ điểm B đến trục z (AA') sẽ được tính bằng công thức:
\[
d = \sqrt{(x_B - x_{AA'})^2 + (y_B - y_{AA'})^2}
= \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{a^2} = a.
\]

Kết luận, khoảng cách giữa đường thẳng BC' và cạnh AA' là \( a \).