Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng những đặc điểm của tam giác đều và các tính chất của trọng tâm, đường cao và các đoạn thẳng trong tam giác.

1. **Giải thích các đoạn đường**:
- Tam giác ABC là một tam giác cân tại A, với AH là đường cao từ A tới cạnh BC.
- G là trọng tâm của tam giác ABC.
- E là điểm trên tia đối của HG sao cho HG = EH, đồng thời cũng có BG = CG = BE = CE.
- Tam giác ABE = tam giác ACE có nghĩa là hai tam giác này bằng nhau và AG = GE.

2. **Xác định chiều dài**:
- AH là đường cao, có độ dài là 9 cm.
- BC là cạnh đáy của tam giác, có độ dài là 8 cm.

3. **Tính độ dài các đoạn BE và AB**:
- Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
\[
BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}.
\]

- Vì tam giác ABC cân tại A, tâm G (trọng tâm) sẽ chia AH theo tỉ lệ 2:1. Do đó, đoạn AG sẽ dài bằng:
\[
AG = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \times 9 = 6 \text{ cm}.
\]
- Và đoạn GH (đoạn còn lại) sẽ bằng:
\[
GH = AH - AG = 9 - 6 = 3 \text{ cm}.
\]

4. **Sử dụng thông tin về E**:
- AB = AC vì tam giác ABC cân. Gọi AB = AC = x.
- Từ G, kéo dài AG đến H có độ dài 3 cm, E là điểm trên tia đối của HG sao cho HG = EH nghĩa là HE = 3 cm.

5. **Các đoạn BG, CG**:
- Ta có từ trước BG = CG = BE = CE.
- Bằng nhau và cũng bằng nhau với chiều dài đoạn BE.
- Do đó, đặt BE = CE = d.

6. **Sử dụng quan hệ từ tam giác**:
- Tam giác ABE = tam giác ACE, do đó diện tích của 2 tam giác này bằng nhau.
- Ta cũng có:
\[
AG = GE = 6 \text{ cm}, \text{ và } \overline{BE} = d.
\]

7. **Sử dụng định lý Pythagoras để tính x**:
- Bây giờ chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABM (hoặc ACM) để thiết lập phương trình:
\[
AB^2 = AH^2 + BM^2 \\
x^2 = 9^2 + 4^2 \\
x^2 = 81 + 16 \\
x = \sqrt{97} \text{ cm}.
\]

8. **Ví dụ cụ thể về đoạn BE**:
- Gọi BE = d và từ G kéo xuống trung điểm M sẽ cắt BC tại M cũng giống cầu nối giữa B -> G và M -> C.
- Dựa vào tỉ số của đoạn:
\[
d = \frac{BE}{BM} = \frac{m}{4}
\]

Vì thế, sau khi hoàn tất tính toán, ta có được:
- \(AB = AC = \sqrt{97}\) cm,
- \(BE = \frac{x}{4} \).

Cuối cùng bạn có thể tính được rõ ràng giá trị của d từ x = √97.

Lưu ý rằng các tính toán chi tiết về BE cần một hệ thức rõ ràng hơn.

**Kết luận của Bài toán**:
- \( AB = \sqrt{97} \approx 9.85\) cm,
- \( BE = d \) trong phương trình trên (cần chi tiết thêm về d).