Để rút gọn biểu thức

\[
M = \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a-1}} + \frac{2\sqrt{a-4}}{a-1} \right) : \frac{1}{\sqrt{a+1}}
\]

bước đầu tiên là tìm một mẫu chung cho các phân số ở trong ngoặc.

1. Tính mẫu chung cho \(\sqrt{a+1}\) và \(\sqrt{a-1}\):

Mẫu chung là \(\sqrt{(a+1)(a-1)} = \sqrt{a^2 - 1}\).

2. Đưa các phân số về mẫu chung:

\[
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a-1}}{\sqrt{(a+1)(a-1)}}
\]
\[
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a-1}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a+1}}{\sqrt{(a+1)(a-1)}}
\]

3. Thay vào biểu thức \(M\):

\[
M = \left( \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a-1} - \sqrt{a} \cdot \sqrt{a+1} + 2\sqrt{a-4}}{\sqrt{(a+1)(a-1)}} \right) : \frac{1}{\sqrt{a+1}}
\]

4. Nhân với \(\sqrt{a+1}\):

\[
M = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a-1} - \sqrt{a} \cdot \sqrt{a+1} + 2\sqrt{a-4}}{\sqrt{(a+1)(a-1)}} \cdot \sqrt{a+1}
\]

5. Rút gọn:

\[
M = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a-1} \cdot \sqrt{a+1} - \sqrt{a} \cdot (a+1) + 2\sqrt{(a-4)(a+1)}}{\sqrt{(a+1)(a-1)}}
\]

Đến đây, bạn có thể thực hiện thêm bước để giản lược nếu có thể. Tuy nhiên, biểu thức này đã được rút gọn khá nhiều rồi.