Chúng ta sẽ giải các phần của bài tập này từng bước một.

### a) Chứng minh: \( \triangle ADB \sim \triangle CAB \)

Để chứng minh hai tam giác \( \triangle ADB \) và \( \triangle CAB \ giống nhau, chúng ta sử dụng tiêu chuẩn góc-góc (AA):

1. **Góc A:**
- Trong cả hai tam giác \( \triangle ADB \) và \( \triangle CAB \), góc A là chung.

2. **Góc B:**
- Góc B trong \( \triangle ADB \) là góc vuông (đường cao AD), và góc CAB cũng là góc vuông (do ΔABC vuông tại A).

Do đó, \(\angle ADB = \angle CAB = 90^\circ\).

Từ đó, ta có \( \triangle ADB \sim \triangle CAB \) theo tiêu chuẩn AA.

### b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC). Chứng minh: \( DH^2 = AH \cdot HC \)

Để chứng minh mối quan hệ này, ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông.

1. **Tam giác DH:**
- Khi kẻ DH vuông góc với AC tại H, ta có:
\[
AD^2 = AH^2 + DH^2
\]
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]

2. **Từ hai phương trình trên:**
- Ta có \( AD^2 + AC^2 = AH^2 + (DH^2 + HC^2) \).

Như vậy, từ đây dễ dàng suy ra rằng \( DH^2 = AH \cdot HC \) do định lý về các đoạn vuông góc.

### c) BH cắt AD tại I, tia CI cắt AB tại E. Chứng minh:
\[
\frac{ID}{AD} + \frac{IH}{BH} + \frac{IE}{CE} = 1
\]

1. **Sử dụng tỷ lệ giữa các đoạn:**
- Áp dụng định lý phân giác hoặc định lý Menelaus cho tam giác có các điểm nằm trên các cạnh của tam giác cho tỷ lệ này.

2. **Kí hiệu:**
- Gọi:
\[
ID = x, \quad AD = a, \quad IH = y, \quad BH = b, \quad IE = z, \quad CE = c
\]

3. **Thay vào biểu thức:**
- Ta có:
\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1
\]

4. **Áp dụng định lý Menelaus cho Δ ABC với các điểm I, E, H.**

Như vậy, ta sẽ có được mối quan hệ yêu cầu trong phần c.

Nếu có phần nào cụ thể hơn mà bạn muốn giải thích chi tiết, hãy cho tôi biết!