Để chứng minh ba điểm \( B, G, N \) thẳng hàng và \( CG = \frac{1}{3} CA \), ta sẽ tiến hành như sau:

### a) Chứng minh \( \triangle ABD = \triangle CDB \)

Vì \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \), ta có:

- Các góc đối đỉnh \( \angle ABD \) và \( \angle CDB \) là bằng nhau (góc so le trong).
- Các cạnh \( AB \) và \( CD \) song song, nên \( \frac{AB}{CD} = 1 \).
- Hai cạnh \( AD \) và \( BC \) cũng song song, nên \( \frac{AD}{BC} = 1 \).

Từ đây suy ra \( \triangle ABD \cong \triangle CDB \) theo định nghĩa của tam giác đồng dạng (cạnh - góc - cạnh).

### b) Chứng minh ba điểm \( B, G, N \) thẳng hàng

Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( N \) là trung điểm của \( CD \), ta có:

- \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) => \( BM = MC \).
- Cả \( G \) là điểm giao nhau của \( AC \) và \( DM \).

Ta đã biết từ phần (a) rằng \( \triangle ABD \cong \triangle CDB \), cho nên \( \frac{AG}{GD} = \frac{AB}{DB} = 1 \).

Từ đó suy ra rằng \( B, G, N \) nằm trên một đường thẳng (do thuộc cùng một tam giác có tỉ lệ cạnh bằng nhau).

### c) Chứng minh \( CG = \frac{1}{3} CA \)

Dựa trên tỉ lệ cạnh mà chúng ta đã xác định ở trên:

- Từ \( N \) là trung điểm của \( CD \), ta có \( CN = ND \).
- Xét tỷ lệ trọng tâm: vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), và \( N \) của \( CD \) là những trung điểm, nên \( CG \) sẽ chiếm \( \frac{1}{3} \) tổng chiều dài của đoạn \( AC \).

Suy ra \( CG = \frac{1}{3} CA \).

Như vậy, ta đã hoàn thành bài toán với các chứng minh như đã nêu.