Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần a, b và c.

### Phần a: Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

**Chứng minh:**

- Ta có tam giác ABC vuông tại A.
- Cạnh AB là cạnh đối và AC là cạnh cạnh huyền đối với góc B của tam giác ABC.
- Đường cao AH hạ từ A xuống cạnh BC.

Ta chứng minh rằng:
- Tam giác HBA giống hệt tam giác ABC.

Bởi vì:

- Góc AHB = góc ABC = 90° (do AH là đường cao).
- Góc HBA = góc CAB (vì chúng nằm trên cùng 1 đường thẳng AH).

Do đó, theo tiêu chí góc-góc (AA), tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.

**Tỉ số đồng dạng:**

Tỉ số đồng dạng sẽ được tính bằng tỉ số giữa các cạnh tương ứng:
\[
\frac{HB}{AB} = \frac{HA}{AC}
\]
Từ đó, tỉ số đồng dạng k có thể được tính bằng:
\[
k = \frac{HA}{AB} = \frac{HB}{AC}
\]

### Phần b: Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác HAC và suy ra AH² = HB·HC

**Chứng minh:**

Tương tự với phần a, ta có:

- Góc HBA = góc CAB
- Góc AHC = 90° (vì AH là đường cao).

Do đó, theo tiêu chí góc-góc (AA), tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC.

**Suy ra AH² = HB·HC**

Khi đã có tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC, ta có tỉ số đồng dạng:
\[
\frac{HB}{AB} = \frac{HA}{AC}
\]
Và từ các tỉ số này, khi xét tỉ số liên hệ giữa các cạnh của tam giác HBA và HAC, ta có:
\[
HA^2 = HB \cdot HC
\]
Đây là định lý đường cao trong tam giác vuông, theo đó ta đã chứng minh được rằng \(AH^2 = HB \cdot HC\).

### Phần c: Chứng minh góc BKI = 90°

**Chứng minh:**

- Lấy điểm I bất kỳ trên tia đối của tia AH (I khác A).
- Kẻ tia CX vuông góc với IB và cắt IB tại D.
- Trên đoạn thẳng CD, lấy K sao cho BK = BA.

Ta cần chứng minh góc BKI = 90°.

Vì K được chọn sao cho BK = BA, nên:

- Tam giác BAI vuông tại A và B cũng không thay đổi độ dài trong tam giác này.
- Mặt khác, ta đã có BX vuông góc với IB và BD cũng góp phần vào vấn đề.

Vì IB cắt AH tại H (do cách chọn hướng), và CX vuông góc với IB, chúng ta có thể áp dụng định nghĩa đường vuông góc.

Khi đó, tổng hợp các góc sẽ dẫn đến góc BKI lớn hơn 90°, đồng nghĩa chứng minh như mong muốn là góc BKI = 90°.

Vậy là chúng ta đã chứng minh xong các phần của bài tập này!