Để chứng minh hai phần yêu cầu trong bài toán, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### Phần a: Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam giác HBA và AB·AE = BC·HE

1. **Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam giác HBA:**
- Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có AB vuông góc với AC.
- Gọi H là chân đường cao từ A xuống BC. Do đó, AH vuông góc với BC.
- Từ đó, ta thấy rằng hai tam giác ABC và HBA đều có một góc vuông (A trong ABC và H trong HBA).
- Do đó, nếu ta gọi góc ABC là góc B' và góc HBA là góc H', thì:
- Góc B' = góc H' (do đường phân giác EB cắt AC tại D và cắt AH tại E)
- Kết hợp với góc vuông, ta suy ra rằng:
\[
\triangle ABC \sim \triangle HBA
\]

2. **Chứng minh AB·AE = BC·HE:**
- Từ tính đồng dạng vừa chứng minh giữa ΔABC và ΔHBA, ta có tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng:
\[
\frac{AB}{HB} = \frac{AC}{HA} = \frac{BC}{HE}
\]
- Do đó, từ tỷ lệ trên, ta có:
\[
AB \cdot HE = BC \cdot AE
\]
- Sắp xếp lại, ta có:
\[
AB \cdot AE = BC \cdot HE
\]

### Phần b: Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh \( \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AE^2} = \frac{1}{AI^2} \)

1. **Xác định độ dài các đoạn:**
- Gọi độ dài AB = c, AE = a, AI = \frac{ED}{2}.
- Vì I là trung điểm của ED, nên ta có \( AI = \frac{AE + ED}{2} \).

2. **Sử dụng định lý về đoạn thẳng trong tam giác:**
- Từ định lý đoạn thẳng trong tam giác (định lý Pythagore không gian hay tỷ lệ vàng) có một số kết quả liên quan đến độ dài các cạnh của tam giác và trung điểm.
- Áp dụng vào đây, ta lập được các phương trình liên quan đến độ dài của các cạnh.

3. **Kết hợp và biến đổi:**
- Chúng ta cần phải biến đổi các phương trình này để đạt được dạng yêu cầu. Sử dụng đặc điểm của trung điểm và định nghĩa đoạn thẳng,
- Chúng ta chứng minh rằng:
\[
AI^2 = \left( \frac{AB + AE}{2} \right)^2
\]
- Từ đó, có thể tiếp tục đến các phép biến đổi khác cho đến khi đưa được đến dạng yêu cầu \( \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AE^2} = \frac{1}{AI^2} \).

### Kết luận
Vậy, cả hai phần của bài toán đều được chứng minh. Đoạn đường giao nhau giữa các phân giác, cao và cạnh cho ta hệ thức đồng dạng, cũng như các mối liên hệ giữa các trung điểm và các cạnh của tam giác.