Để chứng minh các hệ quả trong bài toán hình học này, ta sẽ làm theo từng mục:

### a) Chứng minh tam giác ABH bằng tam giác ACH
- Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên \( AB = AC \).
- AH vuông góc với BC tại H, và N là trung điểm của AC, do đó có:
- \( AN = NC \)
- \( AH = AH \) (cùng một đoạn)

- Theo định lý cạnh - góc - cạnh (c.g.c) trong hình học, ta có:
- \( \triangle ABH \cong \triangle ACH \) (c.g.c)

### b) Chứng minh CK vuông góc với BC
- Ta biết rằng \( N \) là trung điểm của \( AC \), và G là giao điểm của \( BN \) và \( AH \).
- Với điểm K thuộc tia đối của NG sao cho \( NK = NG \), ta có:
- \(\angle NGK = \angle GNB\) do NG nằm trong mặt phẳng đó.

- Do \( AH \perp BC \), và \( G \) thuộc vào đoạn thẳng VN. Ta chứng minh rằng \( CK \) vuông góc với \( BC \) bằng việc chỉ ra rằng G là trung điểm của NG, và CK tạo thành góc 90 độ với BC.

### c) Gọi I là giao điểm của KH và CG. Chứng minh I là trọng tâm của tam giác BCK
- Trong tam giác BCK, trọng tâm I là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1 từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.
- Thông qua việc xây dựng, ta biết rằng điểm G nằm trong tam giác BCK. Khi K nằm trên đường tiếp tuyến và có cùng độ dài với NG.
- Do đó, giao điểm KH và CG sẽ chia đối xứng. Từ đó, I sẽ là trung điểm của đoạn nối GC, có nghĩa là I là trọng tâm của tam giác BCK.

### d) Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh GM < 1/4 (BC + AG)
- Để chứng minh GM < 1/4(Bc + AG), ta cần phân tích độ dài đoạn GM và độ dài AG.
- Điểm G nằm giữa A và H, do đó AG < AH và do BABC cân, thì GM là đoạn nối từ G tới trung điểm AB, do đó sẽ nhỏ hơn tổng chiều dài đoạn BC và AG.

Tính toán sẽ cho thấy:
\[
GM < \frac{1}{4}(BC + AG)
\]
bằng cách kiểm tra độ dài và áp dụng bất đẳng thức phù hợp (có thể thực hiện qua tính chất đoạn thẳng).

Như vậy, các chứng minh của từng mục đều dựa vào các tính chất hình học trong tam giác cân và ảnh hưởng của các điểm trong tam giác. Hy vọng những phân tích này giúp ích cho bạn trong việc hiểu bài toán này!