Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng yêu cầu:

### a. Chứng minh: \( \triangle ABH \sim \triangle CBA \)

- Ta có \( \angle AHB = 90^\circ \) (vì AH là đường cao).
- Trong tam giác vuông, hai góc còn lại cộng lại bằng \( 90^\circ \), nên \( \angle ABH = \angle CBA \).
- Do đó, theo định lý tương ứng, ta có \( \triangle ABH \sim \triangle CBA \).

### b. Tính \( BC \) và \( AH \)

1. **Tính cạnh \( BC \)**:
Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}
\]

2. **Tính đường cao \( AH \)**:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.615 \text{ cm}
\]

### c. Chứng minh \( AF^2 = FH \cdot EC \)

- Gọi \( E \) và \( F \) là các điểm trên cạnh \( AC \) sao cho \( BE \) cắt tại \( E \) và \( AH \) cắt tại \( F \).
- Đối với đoạn thẳng \( AE \) và \( FC \), từ định lý phân giác:
\[
\frac{AF}{FC} = \frac{AB}{BC}
\]

Từ đó ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa các độ dài. Chứng minh sẽ liên quan đến việc sử dụng tỷ lệ và các đoạn thẳng tương ứng từ định lý Ceva hoặc định lý phân giác.

Đây là các nội dung chính trong việc giải bài toán. Nếu bạn cần thêm thông tin hay giải thích chi tiết hơn, hãy cho tôi biết!