Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước theo yêu cầu của đề bài.

**a. So sánh CE và BC:**

Trong tam giác cân ABC tại A, đường cao CE (với E là chân đường cao từ A xuống BC) sẽ chia BC thành hai đoạn bằng nhau. Do đó, CE là đường cao của tam giác và nó sẽ luôn ngắn hơn cạnh BC. Ta có thể kết luận rằng CE < BC.

**b. Kẻ đường cao BF:**

Kẻ đường cao BF từ B xuống cạnh AC. Sử dụng tính chất đường cao của tam giác và tính đối xứng trong tam giác cân, ta sẽ chứng minh rằng tam giác ABF và tam giác ACE có sự tương đồng.

**c. Chứng minh tam giác ABF = tam giác ACE:**

Đầu tiên, chúng ta có các thông tin sau:
- AB = AC (vì ABC là tam giác cân tại A).
- CE và BF đều là đường cao, tức là vuông góc với BC và AC tương ứng.
- Góc ABE = góc ACE (cùng bằng góc vuông tại điểm E khi kéo đường cao CE).

Như vậy, bạn có thể thấy rằng tam giác ABF và tam giác ACE có hai cạnh tương ứng và một góc giữa hai cạnh đó bằng nhau (cạnh AB = AC, góc ABE = góc ACE). Theo tiêu chuẩn chứng minh hai tam giác bằng nhau (cạnh-góc-cạnh), chúng ta có thể kết luận rằng tam giác ABF = tam giác ACE.

**d. Chứng minh AI vuông góc với BC:**

Từ việc cắt nhau của BF và CE tại điểm I, ta sẽ chứng minh rằng AI vuông góc với BC bằng cách áp dụng định nghĩa của đường trung bình trong tam giác cân. Khi I là giao điểm của hai đường cao BF và CE, thì AI chính là đường trung bình của tam giác, có nghĩa là AI sẽ vuông góc với BC (đồng thời các đoạn IB và IC sẽ bằng nhau do tam giác ABC là tam giác cân, cũng như tính đối xứng trong hình vẽ).

Như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng AI vuông góc với BC.

Đó là toàn bộ quá trình chứng minh cho bài toán này.