Chúng ta sẽ chứng minh từng phần một của bài toán.

**a)** Chứng minh tam giác \( ABO \) bằng tam giác \( ACO \) và \( BO = CO \).

- Ta có tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), suy ra \( AB = AC \).
- Đường \( AD \) là đường phân giác trong của góc \( A \), nên theo định nghĩa, \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1 \). Điều này cho thấy \( BD = DC \).
- Vậy \( D \) là trung điểm của đoạn \( BC \).
- Vì \( BM \) là đường trung tuyến, nên \( M \) cũng là trung điểm của \( AC \).
- Từ đó, ta có các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác \( ABO \) và \( ACO \):
- \( AB = AC \)
- \( AO = AO \) (cạnh chung)
- \( BO = CO \) (do \( D \) là trung điểm của \( BC \)).

Vì vậy, theo tiêu chuẩn tam giác bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh), ta có \( \triangle ABO \cong \triangle ACO \) và \( BO = CO \).

**b)** Chứng minh \( CE \) song song với \( AD \) (tức là \( CE \parallel AD \)).

- Vì \( M \) là trung điểm của đoạn \( AC \) và \( E \) nằm trên tia đối của tia \( MB \) sao cho \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( OE \), ta có thể xây dựng mối quan hệ giữa các cạnh của các đoạn thẳng.
- Xét đường thẳng \( AD \) (đường phân giác) và đường thẳng \( MB \). Ta có rằng \( AD \) đi qua điểm \( D \) (trung điểm cạnh \( BC \)).
- Nhờ tính chất của phân giác, ta có: \( \angle ABD = \angle ACD \).
- Từ sự sắp xếp của các điểm, ta thấy \( \angle ABE = \angle ACD \), khi đó có: \( CE \parallel AD \) bởi tính chất của hai đường thẳng cắt nhau tạo thành các góc so le trong.

**c)** Chứng minh độ dài đoạn thẳng \( OG = \frac{3}{1} OE \) (hay \( OG = \frac{1}{3} OE \)).

- Gọi \( G \) là giao điểm của \( DE \) và \( CO \).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( OE \), và \( D \) cũng là trung điểm của đoạn \( BC \), ta có \( DE \) cắt đoạn \( OG \).
- Theo tỉ lệ giữa các phân đoạn do tính chất song song (từ \( CE \parallel AD \)), ta có:
- \( \frac{OG}{GE} = \frac{BD}{DE} = \frac{1}{2} \) (từ sự tương đương giữa các đoạn do phân giác và trung điểm).
- Từ đó, \( EG = 2OG \rightarrow OG = \frac{1}{3} OE \).

Như vậy, ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán.