1) Cho tam giác ABC vuông tại A.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
Ta có: HD ⊥ AB và HE ⊥ AC
=> Góc ADH = góc AEH = 90 độ
Ta có: Góc DAE = 90 độ (do tam giác ABC vuông tại A)
Xét tứ giác ADHE, ta có:
Góc ADH = góc AEH = góc DAE = 90 độ
=> Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
b) Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính DE?
Ta có: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
=> DE = AH
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
=> BC = 10cm
Ta có: AH = AB * AC / BC = 6 * 8 / 10 = 4,8cm
=> DE = AH = 4,8cm
c) Chứng minh: AM vuông góc với DE và 3 đường thẳng MK, BN, AH đồng quy.
Ta có: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
=> Góc ADE = góc AHE
Ta có: Góc AHE = góc ACB (cùng phụ góc HAC)
=> Góc ADE = góc ACB
Ta có: Góc ACB = góc AMB (do AM là trung tuyến của tam giác ABC)
=> Góc ADE = góc AMB
Ta có: Góc ADE + góc ADM = 90 độ
=> Góc AMB + góc ADM = 90 độ
=> AM ⊥ DE
(Phần chứng minh 3 đường thẳng MK, BN, AH đồng quy có thể cần thêm thông tin hoặc các bước chứng minh cụ thể hơn về vị trí và quan hệ của các điểm M, K, N).
2) Cho hình chóp tứ giác đều.
Ta có công thức tính thể tích hình chóp: V = (1/3) * S * h
Trong đó: V là thể tích, S là diện tích đáy, h là chiều cao.
Ta có: V = 75 cm³, h = 9 cm
=> 75 = (1/3) * S * 9
=> S = 25 cm²
Diện tích đáy hình chóp tứ giác đều là: S = a² (với a là độ dài cạnh đáy)
=> a² = 25
=> a = 5 cm
Vậy độ dài cạnh đáy hình chóp là 5 cm.