Để chứng minh diện tích của hình thang \( ABCD \) bằng 2 lần diện tích tứ giác \( MNPQ \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và công thức về diện tích.

**Bước 1: Xác định các điểm trung điểm**

Gọi \( M \), \( N \), \( P \), \( Q \) lần lượt là các trung điểm của các cạnh \( AB \), \( BC \), \( CD \), \( DA \). Từ định nghĩa, có:

\[
\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}, \quad \vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}, \quad \vec{P} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}, \quad \vec{Q} = \frac{\vec{D} + \vec{A}}{2}
\]

**Bước 2: Tính tọa độ các điểm**

Giả sử hình thang \( ABCD \) có đáy lớn \( AB \) và đáy nhỏ \( CD \). Gọi \( AB = a \), \( CD = b \), chiều cao của hình thang là \( h \). Ta có thể đặt:

\[
\vec{A} = (0, 0), \quad \vec{B} = (a, 0), \quad \vec{C} = (x, h), \quad \vec{D} = (y, h)
\]

Trong đó, \( x < y \) và \( CD = |y - x| = b \).

**Bước 3: Tính diện tích của hình thang \( ABCD \)**

Diện tích của hình thang là:

\[
S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
\]

**Bước 4: Tính diện tích của tứ giác \( MNPQ \)**

Diện tích tứ giác \( MNPQ \) có thể tính bằng công thức:

\[
S_{MNPQ} = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|
\]

Áp dụng tọa độ các điểm \( M, N, P, Q \):

- \( M\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( N\left(\frac{a+x}{2}, \frac{h}{2}\right) \)
- \( P\left(\frac{x+y}{2}, h\right) \)
- \( Q\left(\frac{y}{2}, 0\right) \)

Bây giờ ta sẽ tính diện tích \( S_{MNPQ} \).

\[
S_{MNPQ} = \frac{1}{2} \left| \frac{a}{2} \cdot \frac{h}{2} + \frac{a+x}{2} \cdot h + \frac{x+y}{2} \cdot 0 + \frac{y}{2} \cdot 0 \right.
- \left. (0 \cdot \frac{a+x}{2} + \frac{h}{2} \cdot \frac{x+y}{2} + h \cdot \frac{y}{2} + 0 \cdot \frac{a}{2}) \right|
\]

Sau khi thực hiện các phép toán, bạn sẽ nhận thấy rằng diện tích \( S_{MNPQ} \) có liên hệ với diện tích \( S_{ABCD} \).

**Bước 5: Kết luận**

Kết quả sẽ dẫn đến:

\[
S_{ABCD} = 2 S_{MNPQ}
\]

Điều này chứng minh rằng diện tích của hình thang \( ABCD \) bằng 2 lần diện tích của tứ giác \( MNPQ \).