Để chứng minh các mệnh đề trong bài tập này, trước tiên chúng ta cần hiểu các điểm và các tam giác liên quan đến tam giác ABC và các điểm H, I, O.

**1. Chứng minh rằng tam giác CHA đồng dạng tam giác CIH.**

Ta có:
- Tam giác ABC là tam giác cân tại A, nghĩa là AB = AC.
- H là trung điểm của cạnh BC, do đó BH = HC.
- HI vuông góc với AC tại điểm H, có nghĩa là góc AHI = 90°.

Trong tam giác CHA và tam giác CIH, ta có:
- Góc CHA = góc AHI (cùng một cặp góc trong vị trí tương ứng)
- Góc AHC = góc IHC (cùng một cặp góc trong vị trí tương ứng, do H nằm trên AC)

Vì vậy, ta có hai góc của tam giác CHA và CIH bằng nhau. Do đó, theo định nghĩa đồng dạng tam giác, ta suy ra rằng tam giác CHA đồng dạng với tam giác CIH.

Từ sự đồng dạng này, ta có tỉ số giữa các cạnh tương ứng:
\[
\frac{CH}{CI} = \frac{HA}{IH}
\]

**2. Chứng minh rằng tam giác BIC đồng dạng tam giác AOH.**

Tương tự như phân tích ở trên, chúng ta chứng minh sự đồng dạng giữa hai tam giác BIC và AOH.

Nhận thấy rằng:
- Góc BIC = góc AOH (góc chung, vì H và O đều nằm trên đường thẳng AC và H là trung điểm BC)
- Góc BCI = góc AHO (HI vuông góc với AC dẫn đến AHO = BCI)

Do đó, theo định nghĩa đồng dạng tam giác, ta suy ra rằng:
\[
\triangle BIC \sim \triangle AOH
\]

**3. Chứng minh rằng AO vuông góc BI.**

Từ sự đồng dạng tam giác BIC và AOH, ta có:
\[
\frac{BI}{AO} = \frac{BC}{AH}
\]

Vì tam giác ABC là một tam giác cân nên các cạnh BH và HC bằng nhau nhằm đến H là trung điểm BH = HC. Điều này dẫn đến BC = 2BH. Trong khi đó, từ tam giác AOH và BIC, ta cũng có một số tính chất tương tự.

Vì AO là đường trung bình của đoạn HI (trong tam giác CIH), với I vuông góc với AC, ta suy ra AO vuông góc với BI, bởi vì BI cũng vuông góc với AC.

Do đó, chúng ta có:
\[
AO \perp BI
\]

Tóm lại, qua các bước trên, chúng ta đã chứng minh các mệnh đề trong bài toán liên quan đến tam giác và các điểm H, I, O.