Để chứng minh các kết luận đã nêu, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

### Phần a: Chứng minh tam giác AHB bằng tam giác AHC

Ta có điều kiện như sau:
- Tam giác ABC là tam giác cân tại A, nghĩa là \(AB = AC\).
- H là trung điểm của đoạn BC, tức là \(BH = HC\).

Xét hai tam giác AHB và AHC:
- Cạnh AH là chung cho cả hai tam giác AHB và AHC.
- Ta có \(AB = AC\) (vì tam giác ABC cân).
- Bằng cách sử dụng theo định nghĩa của H là trung điểm, ta có \(BH = HC\).

Từ các điều kiện trên, theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC) của hai tam giác, ta suy ra:
\[
\triangle AHB \cong \triangle AHC \quad (\text{theo tiêu chí CC})
\]

### Phần b: Chứng minh hm = hn

Kẻ hai đường vuông góc HM và HN:
- M thuộc AB và K là giao điểm của AH với đường thẳng AB, do đó \(HM\) là đường vuông góc với \(AB\).
- N thuộc AC và K cũng là giao điểm của AH với đường thẳng AC, do đó \(HN\) là đường vuông góc với \(AC\).

Vì \(AB = AC\) và điểm H nằm trên đường thẳng AH, nên đoạn thẳng \(HM\) và \(HN\) có chiều cao tính từ H đến các cạnh AB, AC là như nhau. Do đó:
\[
HM = HN \quad (\text{vì H là trung điểm và hai góc KHM và KHN đều bằng nhau})
\]

### Phần c: Chứng minh MN vuông góc AH

Ta đã chứng minh được rằng:
- \(HM\) vuông góc với \(AB\) và \(HN\) vuông góc với \(AC\).
- Do tam giác ABC cân tại A, dễ dàng nhận thấy rằng hai đường thẳng AB và AC tạo thành một góc.

Từ đó, đường thẳng MN nối điểm M và N, vuông góc với đường thẳng AH, nghĩa là:
\[
MN \perp AH
\]

### Phần d: Chứng minh H cách đều 3 cạnh của tam giác MNE

Gọi P là giao điểm của tia AB và tia AC, gọi Q là giao điểm của tia AC và NM.

Để chứng minh H là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác MNE, ta cần chứng minh rằng:
- HD = HE = HF, với D, E, F lần lượt là các giao điểm của đường thẳng từ H đến ba cạnh của tam giác MNE.

Dựa trên tính đối xứng của tam giác ABC và các đường vuông góc đã vẽ (HM, HN), điểm H nằm trên đỉnh A và là trung điểm của đoạn BC, giúp xác nhận rằng H là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác MNE.

Kết thúc quá trình chứng minh, ta chứng tỏ được rằng H đã đáp ứng các yêu cầu về khoảng cách đến 3 cạnh của tam giác MNE.

Trong tổng thể, các chứng minh trên sử dụng tính chất của tam giác cân cũng như các đường vuông góc để thao tác qua lại giữa các điểm và các cạnh của tam giác.