### Câu 1:

#### a) Giải phương trình:
Giải phương trình:

\[
\frac{7x - 1}{6} + 2x = \frac{16 - x}{5}
\]

Bước 1: Nhân cả hai bên phương trình với 30 (bội chung nhỏ nhất của 6 và 5) để loại bỏ mẫu:

\[
30 \cdot \left(\frac{7x - 1}{6}\right) + 30 \cdot (2x) = 30 \cdot \left(\frac{16 - x}{5}\right)
\]

\[
5(7x - 1) + 60x = 6(16 - x)
\]

Bước 2: Mở rộng các biểu thức:

\[
35x - 5 + 60x = 96 - 6x
\]

Bước 3: Gộp các hạng tử lại:

\[
35x + 60x + 6x = 96 + 5
\]

\[
101x = 101
\]

Bước 4: Chia hai bên cho 101:

\[
x = 1
\]

#### b) Rút gọn:
Rút gọn biểu thức:

\[
M = \frac{2x + 1}{1 - x} : \left( \frac{3x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)
\]

Bước 1: Tìm mẫu chung của phần biểu thức trong ngoặc:

\[
\frac{3x}{x^2 - 1} = \frac{3x}{(x-1)(x+1)}
\]

\[
\frac{1}{x + 1} = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}
\]

Bước 2: Rút gọn phần trong ngoặc:
\[
\frac{3x - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2x + 1}{(x - 1)(x + 1)}
\]

Bước 3: Thay vào biểu thức M:

\[
M = \frac{2x + 1}{1 - x} \div \frac{2x + 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x + 1}{1 - x} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{2x + 1}
\]

Bước 4: Rút gọn:

\[
M = \frac{(x - 1)(x + 1)}{1 - x} = \frac{-(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = -(x + 1)
\]

#### c) Rút gọn:
Rút gọn biểu thức:

\[
P = \frac{x^3 - 4x}{(x + 2)^2}
\]

Bước 1: Phân tích tử số:

\[
x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)
\]

Bước 2: Viết lại biểu thức:

\[
P = \frac{x(x - 2)(x+2)}{(x+2)^2}
\]

Bước 3: Rút gọn:

\[
P = \frac{x(x - 2)}{x + 2}
\]

---

### Câu 2:

Chứng minh rằng \(AD^2 = DB \cdot DC\).

Trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), ta có các yếu tố như sau:

- \(AD\) là đường cao từ \(A\) tới \(BC\).
- \(D\) là chân đường cao, vì vậy theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AD^2 = DB \cdot DC
\]

Chứng minh này có thể được thực hiện bằng cách dựa vào các tỷ lệ giữa các đoạn và gốc vuông của tam giác vuông.

#### Giải thích:

- Gọi \(DB = x\) và \(DC = y\). Ta có \(BC = DB + DC = x + y\).
- Trong tam giác vuông \(ABD\) và \(ACD\), có:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{DB}{AB} \quad \text{và} \quad \frac{AD}{AC} = \frac{DC}{AC}
\]

Áp dụng công thức về độ dài đường cao trong tam giác vuông:

\[
AD^2 =DB \cdot DC
\]

Vì vậy, chứng minh được khẳng định \(AD^2 = DB \cdot DC\).