Chúng ta sẽ chứng minh các yêu cầu trong bài toán liên quan đến tam giác cân ABC.

### a) Chứng minh tam giác ABM bằng tam giác ACM

Để chứng minh tam giác ABM bằng tam giác ACM, ta sẽ sử dụng các yếu tố sau:

1. **Tam giác ABC là tam giác cân tại A:** Điều này có nghĩa là \( AB = AC \).

2. **Đường trung tuyến AM:** Đường trung tuyến AM chia đoạn BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( BM = CM \).

3. **Các góc tại A:** Cả hai tam giác ABM và ACM đều có chung cạnh AM.

Bây giờ, ta có thể lập luận như sau:
- Ta có \( AB = AC \) (do tam giác ABC cân).
- Ta có \( BM = CM \) (do M là trung điểm của BC).
- Ta có \( AM \) là cạnh chung.

Như vậy, theo tiêu chuẩn của định lý đồng dạng tam giác (cạnh-cạnh-cạnh), ta có:
\[
\triangle ABM \cong \triangle ACM
\]

### b) Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn EF

1. **Giả thiết:** M là trung điểm của BC. ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC.

2. **Chứng minh AM ⊥ EF:**
- Xét đường thẳng EF.
- Chúng ta cần chứng minh AM ⊥ EF.

Theo định nghĩa của đoạn EF:
- E thuộc AB, F thuộc AC và ME ⊥ AB, MF ⊥ AC.

Vì AM là đường trung tuyến và là đường trung trực của đoạn BC trong tam giác cân, ta có thể chỉ ra rằng:
- Giá trị góc mà AM tạo ra với EF là góc vuông vì M là trung điểm và hai đoạn thẳng ME và MF tạo với các cạnh của tam giác một góc 90 độ.

3. **Khoảng cách đến các điểm:**
- Ta sẽ kiểm tra khoảng cách từ M đến AB và từ M đến AC.
- Vì M là trung điểm của BC và các góc tại E và F thì độ dài từ M đến các cạnh này sẽ bằng nhau (từ tính chất của đường trung trực).

Suy ra, hai đoạn ME và MF đều có cùng độ dài từ điểm M đến đường thẳng AB và AC, đồng thời AM ⊥ EF khiến ta xác định được rằng AM thực sự là đường trung trực.

Kết luận:
- AM là đường trung trực của đoạn EF, vì M cách đều hai đường thẳng AB và AC.

Chúc bạn học tốt!