Để giải quyết bài toán, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có các cạnh:

- \( AB \) là cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông),
- \( AC \) là cạnh góc vuông,
- \( BC \) là cạnh huyền.

Tam giác HBA cũng có cạnh HB là cạnh vuông góc với đường cao AH, và HA chính là chiều cao hạ từ A xuống cạnh huyền BC.

Ta có thể thấy rằng:

1. **Góc HBA = Góc CAB**: Vì HA vuông góc với BC (theo định nghĩa của đường cao).
2. **Góc AHB = Góc ABC**: Vì hai tam giác HBA và ABC đều có chung góc A và góc HBA = góc CAB.

Vì vậy, hai tam giác có:
- Góc HBA = Góc CAB
- Góc AHB = Góc ABC
- Góc ở đỉnh H (góc AHB) = 90°

=> Tam giác \( ABC \) đồng dạng với tam giác \( HBA \) theo tiêu chí góc-góc (G-G).

### b. Tính AH biết AB = 6cm; AC = 8cm

Để tính chiều cao AH, trước tiên ta cần tính độ dài cạnh BC. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABC:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

\[
6^2 + 8^2 = BC^2
\]
\[
36 + 64 = BC^2
\]
\[
BC^2 = 100 \implies BC = 10 \text{ cm}
\]

Bây giờ ta sử dụng công thức tính diện tích của tam giác ABC theo đường cao AH:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC
\]

Diện tích \( S \) tính từ hai cách:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ cm}^2
\]
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot 10
\]

Từ đó, ta có:

\[
24 = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot 10
\]
\[
24 = 5 \cdot AH
\]
\[
AH = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ cm}
\]

### c. Chứng minh \( AH^2 = BH \cdot HC \)

Trong tam giác vuông tại H, theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]

Chứng minh này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng tỉ lệ giữa các độ dài trong tam giác. Ta đã biết:
- \( BH + HC = BC = 10 \text{ cm} \)
- Thay thế \( BH \) và \( HC \) vào biểu thức có được bằng huyền của tam giác:

Từ đồng dạng 3 tam giác:
1. Tam giác ABC
2. Tam giác ABH
3. Tam giác ACH

Dễ dàng nhận thấy từ tỉ lệ giữa các cạnh trong tam giác đường cao cho ta rằng.

Nên kết luận:
\[
AH^2 = BH \cdot HC \text{ (đã được chứng minh)}
\]

Như vậy chúng ta đã hoàn thành bài toán đã cho.