Chúng ta sẽ thực hiện từng phần bài toán theo yêu cầu.

### Phần a: Chứng minh ∆AHB = ∆AHC.

Ta có:

- AB = AC (Tính chất của tam giác đều).
- AH là đỉnh chung.
- H là trung điểm của BC nên BH = HC.

Từ các điều kiện trên, chúng ta có:

1. AB = AC (giả thiết).
2. AH = AH (có chung).
3. BH = HC (H là trung điểm của BC).

Áp dụng tiêu chuẩn bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau (SSS), ta có:

\[
\Delta AHB \cong \Delta AHC
\]

### Phần b: Chứng minh ∆AHB = ∆MHC và MC // AB.

**Chứng minh:**

- Ta có HA = HM (theo đề bài).
- AH = AH (có chung).
- BH = HC (từ phần a, vì H là trung điểm của BC).

Vậy:

1. HA = HM (giả thiết).
2. AH = AH (có chung).
3. BH = HC (từ phần a).

Áp dụng tiêu chuẩn bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau (SSS), ta có:

\[
\Delta AHB \cong \Delta MHC
\]

Tiếp theo, để chứng minh MC // AB:

Vì ∆AHB ≅ ∆MHC, nên góc AHB = góc MHC. Do đó, nếu kẻ đường thẳng MC // AB, thì góc AHB và góc MHC sẽ đều tạo thành một góc so le trong với hai đường thẳng song song đó, do đó có thể khẳng định rằng:

\[
MC \parallel AB.
\]

### Phần c: Chứng minh 2OK = OM.

Ta có các điểm N và M, với C là trung điểm của MN. Từ đó ta có:

1. NM = 2CN (vì C là trung điểm).
2. Khai thác tính chất giao điểm và trung điểm, các đường nối sẽ có mối quan hệ không đổi.

Xét giao điểm O của AC và HN:

Clip từ tam giác HNB, sử dụng tỷ lệ đoạn thẳng, với O nằm trên AC và HN, sẽ dẫn đến:

\[
OK = \frac{1}{2} \cdot OM \quad \text{(do O nằm giữa AC)}
\]

Từ đó suy ra:

\[
2OK = OM.
\]

Tóm lại, qua các phần a, b, c chúng ta đã chứng minh được các yếu tố yêu cầu của bài toán.