### a) Chứng minh tam giác ABO = tam giác ACO và BO = CO

1. **Cấu trúc tam giác**:
- Ta có tam giác ABC cân tại A. Điều này có nghĩa là \(AB = AC\).
- Đường phân giác \(AD\) phân chia góc \(A\) thành hai góc bằng nhau, tức là \(\angle BAD = \angle CAD\).
- Đường trung tuyến \(BM\) chia cạnh \(AC\) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \(AM = MC\).

2. **Các tam giác ABM và ACM**:
- Xét các tam giác \(ABO\) và \(ACO\):
- Ta có:
- \(AB = AC\) (vì tam giác ABC là tam giác cân),
- \(AO = AO\) (cạnh chung),
- \(\angle ABO = \angle ACO\) (vì AD là đường phân giác, và do đó nó cắt BO và CO thành hai góc bằng nhau).

3. **Áp dụng định lý cạnh góc cạnh**:
- Từ các điều kiện trên, ta có:
\[
\triangle ABO \cong \triangle ACO
\]
- Kết luận \(BO = CO\) từ hai tam giác này là đồng dạng và có các cạnh đối diện (cạnh tương ứng) bằng nhau.

### b) Chứng minh CE // AD

1. **Xét các tam giác**:
- Ta đã chứng minh \(BO = CO\), từ đó có thể thấy \(O\) là trung điểm của \(BC\).
- Cũng với việc \(M\) là trung điểm của \(AC\), ta có thể chứng minh rằng \(AM \parallel BO\) (do đinh lý đường trung bình trong tam giác, đường trung bình của tam giác sẽ song song với cạnh đối diện và bằng một nửa cạnh đó).

2. **Cùng một từng hướng**:
- Bây giờ, ta xem \(CE\) theo định nghĩa. Do \(M\) là trung điểm của \(OE\) và \(BO\) song song với \(CE\) (vì \(O\) là trung điểm và theo kết quả ở trên).

3. **Kết luận**:
- Ta có:
\[
CE \parallel AD
\]
- Do đó, chứng minh rằng \(CE\) song song với \(AD\) bằng cách kết hợp tính chất của đường trung bình và đường phân giác trong tam giác.

Từ đó, ta đã chứng minh thành công cả hai yêu cầu a) và b).