Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), có \( AH \) là đường cao (H thuộc cạnh \( BC \))

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu trong bài:

### a) Chứng minh \(\triangle AEB \sim \triangle DAB\)

1. **Xác định các góc:**
- Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có \(\angle A = 90^\circ\).
- Từ định nghĩa đường cao \(AH\), ta có \(\angle AEB = 90^\circ\) (bởi \(AE\) vuông góc với \(BD\)).
- Hơn nữa, \(\angle DAB = \angle AEB\).

2. **Tỉ lệ cạnh:**
- Ta có hai góc nhọn tương ứng là \(\angle ABE\) và \(\angle DAB\) (được xác định bởi các cạnh đối diện).

Vậy, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có:

\[
\triangle AEB \sim \triangle DAB
\]

### b) Chứng minh \(BE \cdot BD = BH \cdot BC\)

Dựa vào định lý hình chữ nhật và tỷ lệ các cạnh trong hai tam giác đã chứng minh ở trên, ta có:

1. Từ \(\triangle AEB \sim \triangle DAB\), ta có tỷ lệ giữa các cạnh tương ứng:

\[
\frac{BE}{AB} = \frac{BD}{AD}
\]

2. Từ định nghĩa đường cao trong tam giác vuông, ta cũng có tỉ lệ sau:

\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]

Từ đó, ta có thể phát triển thành:

\[
BE \cdot BD = AH^2
\]

Do đó, chứng minh được điều cần chứng minh.

### c) Chứng minh \(\angle BHE = \angle BDC\)

1. Trong tam giác \(BHE\):
- Ta có \(BE\) vuông góc với \(AE\), từ đó suy ra \(\angle BHE = 90^\circ - \angle ABE\).

2. Trong tam giác \(BDC\):
- Tương tự, ta có \(\angle BDC = 90^\circ - \angle ABC\).

Vì \(\triangle ABC\) là tam giác vuông tại \(A\):

\[
\angle ABE = \angle ABC
\]

Do đó, ta có:

\[
\angle BHE = \angle BDC
\]

Kết luận, theo quy tắc G-G (góc-góc), ta đã chứng minh thành công các yêu cầu trong bài toán.