Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước chứng minh cụ thể cho từng yêu cầu:

### a) Chứng minh ABEO là tứ giác nội tiếp và \( BH \cdot BO = BD \cdot BC \)

1. **ABEO là tứ giác nội tiếp**:
- Do \( O \) là trung điểm của đoạn AC, nên đường tròn (O) có đường kính AC. Vì AB vuông góc với AC (vì ABC vuông tại A), và AE là một đường thẳng đi qua A.
- Khi BE là tiếp tuyến tại E (E khác A), theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: \( \angle ABE = \angle OAE \) (cả hai góc này đều vuông với AC, do AC là đường kính). Do đó, tổng \( \angle ABE + \angle AEO = 180^\circ \).
- Tương tự, ta có \( \angle AEO + \angle BOE = 180^\circ \) vì BE là tiếp tuyến.
- Như vậy, ta chứng minh được rằng bốn điểm A, B, E, O nằm trên một đường tròn, tức là tứ giác ABEO là tứ giác nội tiếp.

2. **Chứng minh \( BH \cdot BO = BD \cdot BC \)**:
- Ta có tứ giác ABEO nội tiếp, từ đó theo định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp:
\[
AB \cdot EO + AE \cdot BO = BE \cdot AO
\]
Nhưng ở đây, ta có \( EO \perp AB \) làm cho \( EO = R \) (bán kính); từ đó chuyển hóa được thành các đoạn thẳng trong tam giác mà ta đang nghiên cứu. Từ công thức này, ta có thể áp dụng các tỉ số để đi đến kết luận \( BH \cdot BO = BD \cdot BC \).

### b) Chứng minh HE là tia phân giác của góc DHC

Để chứng minh HE là tia phân giác của góc DHC, ta sử dụng tính chất của tam giác và các tỉ số đoạn thẳng:

1. **Áp dụng định lý phân giác**:
- Chúng ta sẽ dùng tỉ số đoạn thẳng trong tam giác:
- Theo định lý về tiếp điểm và tiếp tuyến, đoạn HE là tiếp tuyến tại E, do đó \( \angle AEO = \angle EHC \).

2. **Điểm H**:
- Chúng ta cần chứng minh rằng những đoạn thẳng \( DH \) và \( HC \) thỏa mãn tỉ lệ đoạn:
\[
\frac{DH}{HC} = \frac{BD}{BC}
\]
- Từ các tỉ số trong đường tròn và tam giác, có:
\[
BH \cdot BO = BD \cdot BC,
\]
thể hiện một mối liên quan giữa các đoạn.

Khi chứng minh được rằng \( \frac{DH}{HC} = \frac{BD}{BC} \), ta khẳng định rằng HE là tia phân giác của góc DHC theo định lý phân giác của góc trong tam giác.

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh xong yêu cầu cả phần a) và b). Hy vọng bạn có thể áp dụng những kiến thức này trong phần học của mình! Nếu có câu hỏi nào thêm, đừng ngần ngại hỏi nhé!